探究破解平面解析幾何求解困境的教學實踐
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作者:宮建紅
【摘 要】探究的本質是參與和理解，其不僅可以逐步培養學生分析問題、解決問題的高階能力，還可以在學習中逐步培養學生數學抽象、數學運算等學科核心素養。針對學生在求解平面解幾問題過程中表現出的目標不明、思路不清、方法不準等問題，基于探究求解平面解析幾何的問題引導、模型建構、質疑生思、統計分析、深度探究的教學路徑，引導學生主動發現問題、解決問題，培養學生判斷思維、邏輯思維和解決問題的能力。
【關鍵詞】核心素養；平面解析幾何；求解困境
一、問題提出
解析幾何起源于古希臘數學家對圓錐曲線的研究，作為溝通初等數學與高等數學、代數與幾何的橋梁，可以幫助學生形成從數學具象到數學抽象的關鍵能力，拓展運用數形結合思想解決問題的思維空間［1］。章建躍博士指出，在平面解析幾何的教學中培養學生用運動、變化和對立統一等觀點分析和解決問題，則可以讓學生領會辯證法思想［2］。探究的本質是參與和理解，其不僅可以逐步培養學生分析問題、解決問題的高階能力，還可以培養學生數學抽象、數學運算等學科核心素養?？梢姡矫娼馕鰩缀蔚慕虒W應以數形結合和辯證法為指導思想，基于探究引導學生通過系統學習平面解析幾何的基礎知識，學會運用代數方法研究幾何問題，不斷融會貫通已學知識，在解決真實問題的過程中提高綜合應用數學知識的能力，不斷培養學生數學學科核心素養。但在教學實踐中，筆者發現，大多數學生感到平面解析幾何內容較難，在平時的學習中花費的時間很多，但效果并不佳，而教師在解析幾何的教學中缺少對策，復習效果差。為此，筆者對破解平面解析幾何問題的求解困境進行探究。
二、教學模型構建
對破解平面解析幾何問題求解困境的探究一般包括以下過程：在指導下進行有意義的思考――明確提出需探究的問題――根據已有知識和經驗對問題猜測和假設――做出合乎邏輯的分析與嚴謹的驗證――形成連貫的解答并與他人交流得出的結論――建構模型及預測――合作評估與交流［3］。學生經歷以上探究過程，提高了對所學知識的深層理解和探究能力，從而將已有的解答應用于新情境。
在實踐中，筆者基于上述探究教學的過程，結合對學生求解平面解析幾何存在問題的分析，構建了探究平面解析幾何教學的模型（如圖1）。探究平面解析幾何學習要以知識結構和問題結構櫧鸕悖提出常見問題模型，并通過探究最終達到對平面解析幾何知識的深層理解，提高求解和遷移能力。教師在教學中應做到以下幾個方面：（1）基于不同題型，引導學生建構模型；（2）基于不同模型，引發學生質疑生思；（3）基于多類問題，引領學生統計分析；（4）基于精選問題，引導學生課堂探究。
【案例呈現】首先，教師以直線與圓、直線與圓錐曲線中常見求解問題為載體，設計出一些基本模型；其次，教師讓學生針對不同模型，發現問題、思考問題，從而找到解決問題的基本方法；再次，教師將學生提出的問題進行統計分析、歸類，尋找課堂探究的主問題；最后，在課堂教學環節，以探究為路徑，學生為主體，教師適時引導。
以上教學過程循環往復，久而久之，就能幫助學生養成良好的思維習慣。其中，在課堂探究過程中，教師應始終堅持以生為本，即“目標讓學生明確，問題讓學生尋找，路徑讓學生選擇，疑惑讓學生討論，過程讓學生體驗，方法讓學生總結”，一般采取以下流程：以精選問題為起點，指導學生思考――學生主講，展示過程――提問質疑，總結梳理――題型變式，初步探究――適時引導，深入探究――建構模型，總結提升。實踐表明，學習路徑與方法的改變破解了學生在平面解析幾何中的求解困境，逐步培養了學生的綜合應用數學知識解決復雜問題的能力，全面提升了學生數學抽象、數學運算等學科核心素養。
三、教學路徑研究
?。ㄒ唬┗诓煌}型，引導學生建構模型
教師引導學生將平面解析幾何的求解問題歸納為以下基本模型：①求基本量類，如求“a，b，c，p”；②求基本方程類，如求直線與圓錐曲線方程、準線與漸近線方程等；③求重要幾何量類，如求離心率、焦半徑、焦點（頂點）弦長、焦點（頂點）三角形面積等；④發現性質類，如與軌跡、斜率、離心率等相關的性質；⑤典型問題類，如位置關系問題、定點定值問題、內接三角形問題、極點極線問題等。
在以上問題類型的歸納過程中，為了減少隨機性、盲目性，增強指令性、針對性和操作性，筆者以直線與圓錐曲線為載體（以直線與橢圓為例）歸納了6個基本類型：①直線過橢圓焦點；②直線過橢圓中心；③直線過橢圓頂點；④過橢圓上一點的切線；⑤中點弦；⑥過定點的直線。以類型①為例，給出一個橢圓C，一條經過焦點F的直線AB。為了便于觀察思考，給出橢圓的準線（如圖2），從這些條件出發可以生成許多問題，并得到相關結論。針對這些不同的問題和結論，教師以“一法多題”或“一題多法”讓學生積累解題經驗，提升思辨能力。
（二）基于不同模型，引發學生質疑生思
基于上述基本模型，教師對學生提出如下要求：①添加條件設計問題；②依據模型搜集問題；③探究方法力求多解；④順向推廣逆向思考；⑤類比推理尋找相似；⑥發散思維變式探索；⑦總結反思技巧提升。這樣可激發學生發現新問題的興趣，發現問題的來龍去脈，探索問題間的相互聯系，產生新的猜想并加以驗證。以下案例從求離心率的問題模型出發，讓學生根據要求進行深入思考。
【案例1】設橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）的左焦點和右焦點分別為F1，F2，求橢圓C的離心率。
?、偬砑訔l件：P是C上的點，PF2[⊥]F1F2，[∠PF1F2=30°]，求橢圓C的離心率。
②依據求離心率的模型，廣泛搜集相關問題。
?、厶砑訔l件①后，學生思考多種解法，如直接法、幾何法、代數法等。
?、茉谇蠼夂笸茝V得出變式：橢圓上存在點P使得PF1[⊥]PF2，求橢圓C的離心率的取值范圍。
⑤類比推理尋找相似問題：橢圓左焦點為F1，過原點的直線交橢圓上于A，B兩點，使得AF1[⊥]BF2，求橢圓C的離心率的取值范圍。
?、捱M一步發散思維：已知橢圓的右頂點是A（a，0），其上存在一點P，使[∠APO=90°]，求橢圓離心率的取值范圍。
?、邔η箅x心率問題的解法、題型的變化、基本模型等進行反思和總結。
其中，問題①②試圖培養學生發現問題的能力，讓學生學會提出問題。問題有難有易，解法有繁有簡，但只要是經過學生思考發現的問題都是有效的。問題③主要培養學生分析問題、解決問題的能力，讓學生學會分析問題的幾何條件和推理隱藏的本質特征，正確、合理地把幾何條件轉化為適合計算的數量關系，并在轉化過程中思考如何合理地設立參數以及如何便捷地消去參數，將運算求解變成看得見、摸得著、想得到、算得對的清晰過程。問題④⑤⑥試圖指導學生歸納總結的能力，讓學生能結合問題特征和求解方法舉一反三。問題⑦主要引導學生學會反思，讓學生避免就題論題，達到深刻理解的目的。學生按照上述要求，帶著模型，獨立思考，通過參考教材，查找資料，相互討論，尋找與模型相似的問題，探究問題的解決方法，比較方法的相通之處，歸納方法的相似之處，尋找不同方法的使用范圍，從而找到適合自己的解題方法。上述過程促進了學生高階思維的發展，哪７綠子玫嚼斫狻⑶ㄒ?、质覀恽排猩踔羷撛?，經歷了深度學習的全過程，既優化了數學學習方法，又逐步提升了思維能力以及數學建模、數學運算的核心素養。
?。ㄈ┗诙囝悊栴}，引領學生統計分析
問題的結構特征典型要具有代表性，問題的本質規律清晰要具有一般性，問題的解法通用可遷移要具有融通性，問題的難度恰當要具有普適性，問題的求解訓練有效要具有價值度，問題的呈現方式新穎要具有創造性?；谝陨显瓌t，教師引導學生進行統計分析，刪除繁、難、偏、怪等各類問題。
【案例2】基于上文六個基本模型中的①直線過橢圓焦點，從學生提供的各類問題中，依據上述選擇原則，篩選了與模型①相關的如下問題。
問題1：過F垂直于AB的直線FP交準線l于點P，證明：直線PA、PB與橢圓相切（反之亦然）。
問題2：過點A，B分別作曲線的切線，若交點Q在準線l上，證明：直線QO與弦AB垂直。
問題3：設橢圓的左頂點和右頂點分別為S，T，證明：直線SA與直線TB的交點在準線l上。
問題4：設橢圓的左頂點為N，直線NA，NB交準線l于P，Q，證明：以PQ為直徑的圓經過點F。
問題5：（1）設線段MN中點為C，證明：直線OC與過F和直線MN垂直的直線的交點在準線l上。（2）OG與準線交于點P，證明：以GP為直徑的圓經過點F。
問題7：設準線l與x軸的交點為H，證明：[∠AHF=∠BHF]。
問題8：若直線AB與準線交點為M，過F作垂直于x軸的直線交橢圓于P點，P點不在直線AB上，證明：kPA+kPB=2kPM。
問題9：若P為準線上任一點，直線PA，PF，PB的斜率分別是k1，k2，k3，證明：k1，k2，k3成等差數列。
問題10：設橢圓的左頂點和右頂點分別為M，N，直線AM，AN與準線分別交于P，Q兩點，AB的中點為D，則直線OD與準線的交點平分PQ。
教師依據以下標準，將以上問題進行分類：①具有多種解法的問題；②具有一般規律的問題；③可以類比遷移的問題；④有利于訓練思維的問題；⑤能夠鍛煉運算能力的問題；⑥能夠說明設參、消參原理的問題。統計分析、問題歸類的過程，正是由繁入簡、由零碎到系統的過程，為學生的深度探究奠定基礎。
?。ㄋ模┗诰x問題，引導學生課堂探究
問題是思維的開端，是數學的靈魂。一個精選的問題是引導學生進行課堂探究的關鍵。因此，課前教師應精選課堂上待探究的問題，并提前將精選問題發給學生作為作業，要求學生盡可能理解題意，找到解決問題的方法。課中讓學生自主展示、同伴提問質疑、師生點評完善。這樣學生才能通過課堂探究，進一步理解求解平面解析幾何問題的原理，弄清求解的算理，學會梳理運算中的邏輯關系，最終收獲正確的解題方法、思路、經驗和規律。
【案例3】如圖3，橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）經過點P[1，32]，離心率e=[12]，直線l的方程為x=4。
?。?）求橢圓C的方程；
?。?）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3。問：是否存在常數[λ]，使得k1+k2=[λk3]？若存在，求[λ]的值；若不存在，請說明理由。（本問題與上述問題7的模型相關）
【環節一】學生主講，展示過程
師：課前同學們已經對這道題進行了思考，下面請幾位同學介紹求解方法。
在課前，教師首先請學生進行思考，接著，再由三名學生介紹三種求解方法，限于篇幅此處省略。
【環節二】提問質疑，總結梳理
師：結合題目所給條件，請有疑惑的同學提出質疑，同時對以上方法進行梳理總結。
學生自由提問，教師適時點撥。
【環節三】題型變式，初步探究
師：下面請同學們以小組為單位，運用類比的方法，對該題進行更深入的探究。
生1（第1小組代表）：我們運用了特殊化的方法，發現圓是橢圓的特例，應該有類似的結論：已知圓x2+y2=R2上的一點P（t，s）（-R[<]t[<]R）（t不為0），過點Q（t，0）作直線交圓于A，B兩點（異于P點），交直線l：x=[R2t]于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數[λ]使得k1+k2=[λk3]成立。
生2（第2小組代表）：我們運用了類比的方法，猜想雙曲線應該也有類似的結論，即過雙曲線C：[x2a2-y2b2=1]（a[>]0，b[>]0）的右焦點F作x軸的垂線交橢圓上方于點P，AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與雙曲線的右準線l相交于點M。記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數[λ]使得k1+k2=[λk3]恒成立。
生3（第3小組代表）：我們也是運用了類比的方法，猜想拋物線應該也有類似的結論，即過拋物線y2=2px（p[>]0）的焦點F作FP[⊥]x軸交拋物線上方于點P，AB是經過焦點F的任一條弦（不經過點P），直線AB交準線l于點M。設PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常[λ]使得k1+k2=[λk3]。
在學生分享后，教師用幾何畫板對大家的結論和證明進行動態驗證。
【環節四】適時引導，深入探究
師：如果將P點變成橢圓上任意一點，直線垂直于x軸，焦點改為x軸上的某個點，是否也有類似結論呢？
學生猜想結論：已知橢圓上的任一點P（t，s）（-a[<]t[<]a）（t不為0），過點Q（t，0）作直線AB交橢圓于A，B兩點（異于P點），交直線l：x=[a2t]于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則存在常數[λ]使得k1+k2=[λk3]成立。
教師用幾何畫板進行動態驗證，并推廣到圓、雙曲線、拋物線，之后要求學生課后自主編題證明。
師：我們把剛才的部分條件和結論互換，結論是否成立？例如已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）的焦點為F，點P是橢圓上一點，且PF[⊥]x軸，過焦點F的任一直線交橢圓C于A，B兩點，且不過P點，若直線AB上有一點M，設PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，且k1+k2=[2k3]，則點M在一條定直線上。
【環節五】建構模型，總結提升
師：回顧本節課，你能否通過一道題對平面解析幾何問題的求解知識、方法、思想談談自己的體會？
教師請學生先自行思考，并對總結的內容進行展示。最后，教師總結歸納，對本節課一個問題的研究內容進行總結（如圖4），并衍生、推廣到更一般的問題。
四、結語
平面解析幾何內容是培養學生數學抽象、數形結合、數學運算等關鍵能力和學科素養的重要載體，也是學生學習高中數學的一個難點。如果教師在教學過程中采用就定理講定理，先理論后訓練的傳統教學方法很難培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。只有不斷地優化學習的策略，把數學知識轉化為數學問題，引導學生適時開展建模與探究活動，才能讓數學知識成為通向學科核心素養的階梯，也才有助于學生形成專家思維，真正學會運用數學思想解決數學問題，從而不斷提升數學學科核心素養。
參考文獻：
?。?］章建躍.我國中學數學解析幾何教材的沿革：“中學數學中的解析幾何”之二［J］.中學數學教學參考，2007（15）：1-4.
［2］章建躍.中學解析幾何的核心結構：“中學數學中的解析幾何”之三［J］.中學數學教學參考，2007（17）：4-5，9.
?。?］鄭淵方，廖伯琴，王姍.探究式教學的模型建構探討［J］.教育學報，2001（5）：1-4，18.
（責任編輯：陸順演）
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