新課標初中學段“數與代數”學習領域的新變化
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作者:趙琳 吳立寶 劉穎超
【摘 要】聚焦《義務教育數學課程標準（2022年版）》與《義務教育數學課程標準（2011年版）》初中學段“數與代數”學習領域，對其結構、內容、案例進行比較分析。通過分析比較，研究者發現：在整體結構上，新增了學業質量、核心素養、學業要求以及教學提示部分；在內容上，“數與式”“方程與不等式”“函數”三個主題沒有變化，部分內容順序發生變化，并更新相應知識內容；案例選擇方面，更加注重與現實情境、數學文化的結合。
【關鍵詞】義務教育數學課程標準；數與代數；初中學段；核心素養
一、引言
《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）是在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011年版課標》）基礎上的修訂，凸顯了繼承與發展的特點，新提出核心素養及學業質量貫穿課程標準始終。準確把握課程標準的變化，深入剖析《2022年版課標》修訂理念，深刻理解新版課程標準的內容，有助于將《2022年版課標》的要求深入落實于一線教學，使立德樹人的根本任務落地生根。針對《2022年版課標》中第四學段“數與代數”學習領域中的內容，凸顯素養導向的意蘊，從結構、內容、案例方面與《2011年版課標》中的相應內容進行比較分析，以期優化教學實踐。
二、從核心概念到核心素養、素養本位的學業質量
宏觀上，核心素養相關概念于21世紀初，由芬蘭、美國等國家提出，并迅速在國際社會上形成素養導向的熱潮，其理念滲透于課程改革、教學改革、教學評價方式優化等各個方面。在此背景下，我國數學教育逐步從“雙基”轉向“四基”，從“雙能”轉向“四能”，進而綜合向素養導向的模式過渡發展。新增學業質量，以核心素養發展要求為依據，對學生在“數與代數”領域所應達到的學業成就表現特征進行刻畫，明確了學生對該領域知識“學到什么程度”。從《2011年版課標》到《2022年版課標》，從核心概念到核心素養的變化，新增核心素養的表述，統領核心概念［1］28-34。課程總目標中提出數學課程要培養的學生核心素養包括三個方面的內容：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱“三會”）?！?022年版課標》在《2011年版課標》的基礎上強調核心素養的具體表現，例如在“數與代數”領域初中學段主要表現為抽象能力、推理能力、模型觀念等，核心素養的培養要體現出其內涵的一致性、表現的階段性和表述的整體性［2］92-96。在初中學段要求基于概念的理解，形成相對明確的觀念。
?。ㄒ唬┰跀档酱鷶档恼J識發展中形成抽象意識
從內容指向來看，在“數與代數”領域關注數學的抽象性，就要特別關注數量與數量關系［2］92-96，感悟數是對數量的抽象，在職能上數與代數式具有功能的一致性，形成整體的視角看待數c代數的內在邏輯關系；從技能形成來看，學生能運用代數式表示具體問題中簡單的數量關系，體驗用數學符號表達數量關系的過程，經歷用字母表示數和代數運算的過程，在函數部分找出變量之間的關系及變化規律；從數學思想方法來看，強調學生在完整經歷發現與提出問題，分析與解決問題的過程中，逐步應用數學思想方法解決問題，如借助類比的思想，理解數與代數式在數量表達方面功能的一致性，借助歸納―演繹的思想，理解代數式表達數量關系更具一般性，并在解決現實數量關系相關問題中養成用代數式表達數量關系的習慣等；從數學思維的角度來看，能夠關注數量關系等數學本質方面的問題，形成用數學的眼光觀察現實世界的思維。
（二）在代數推理的理解學習中形成推理能力
針對以往義務教育階段數學課程對代數推理有所忽視的現象，《2022年版課標》初中學段“數與代數”學習領域從內容要求上明確提出了解代數推理，從技能形成上要求學生能夠運用公式進行簡單的計算和推理，能夠通過特殊結果推斷一般結論，進而能夠提高數學思維的嚴謹性，形成歸納、類比的數學思想。例如“例66 代數推理”從形成數學思維的角度讓學生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理意識、提升推理能力。在教學中，教師應重視算理、算法和規律的過程探究［1］28-34，培養學生有條理的思維習慣，進一步形成推理能力及實事求是的科學態度與理性精神，養成重論據、合乎邏輯的思維習慣，學會用數學的思維思考現實世界。
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在方程的教學中，從內容上要求學生能夠正確理解方程的概念，突出建立模型、求解模型的過程，發展學生的模型觀念；解方程（組）有明確的方法步驟，有很強的操作性，因此這也是技能形成的主要組成部分，充分體現了轉化與化歸的數學思想。在“數與代數”函數主題中，要在現實問題中抽象出變量，通過對變量的分析建立兩者之間變化的依賴關系和變化規律，感悟函數的思想，即用動態、聯系的觀點看問題的數學思想，并能用函數表達現實事物的簡單規律，建立函數模型，例如新增案例71，在技能上要求學生能從實際問題中建立函數模型，最終能夠通過二次函數最大值的求法解決實際問題，會用數學的語言表達現實世界。
?。ㄋ模┯蓪W業質量標準評價學生素養發展水平
通過設定學業質量標準，即學生應當達到的學業成就水平，來評價學生在完成某一階段數學課程學習后數學核心素養實際達到的水平，反映學生實際的學習效果，即學業質量［3］。素養本位的學業質量闡明了在每一部分學習中核心素養應當達到的水平、表現特征，以及基礎知識、基本技能、基本思想等。對應核心素養的表現要求從小學階段的意識上升到初中階段的觀念，學業質量標準在初中學段具體描述為“能從生活情境、數學情境中抽象概括出數與式、方程與不等式、函數的概念和規則，掌握相關的運算求解方法，合理解釋運算結果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力”等內容［4］82，體現出學業質量標準也具有相應的進階性，并以結構化的數學知識為載體最終指向解決現實問題。
三、初中學段“數與代數”領域內容結構的變化
《2022年版課標》初中學段的“數與代數”領域主題結構與《2011年版課標》一致，仍為“數與式、方程與不等式、函數”三大主題，其變化主要體現在以下幾個方面：其一，縱向上強調學段關聯性，對學段的劃分進行了一定調整，從“學段+領域”到“領域+學段”，在內容呈現上的明顯變化是在數與代數內涵一致性基礎上強調進階發展性；其二，橫向上突出“教―學―評”協同發展，將課程內容分為三個方面來表達，即在內容要求的基礎上增加學業要求和教學建議，使內容表達更加清晰。
?。ㄒ唬┱{整學段劃分，延續“數與式”“方程與不等式”“函數”三大主題
《2011年版課標》首先將義務教育分為三個學段，在每個學段下再對不同知識領域進行介紹與闡述，即以“學段+領域”的形式呈現。而在《2022年版課標》中，首先將義務教育明確分為了小學階段與初中階段，進而在每一部分從四個領域呈現各學段的內容，即以“階段+領域+學段”的形式呈現［5］41-49。“階段+領域+學段”這種知識呈現形式的變化使學段的劃分更加明確，且沒有忽略各學段之間的聯系，更加注重“數與代數”這一領域內知識的前后銜接，例如小學階段只要求掌握正有理數及用字母表示關系和規律，初中階段進一步拓展到負有理數、無理數及用字母表示代數式，逐級推進，層層深入，體現出不同學段知識的B續性和進階性［1］28-34，這樣的學段劃分更符合學生的年齡特征和認知發展規律。
在初中學段“數與代數”領域，《2022年版課標》與《2011年版課標》相比，“數與式”“方程與不等式”“函數”三大主題沒有改變，但將“負數”“方程”“反比例”內容從小學移到初中，由于其內容對于小學生而言學習起來較為困難，將這些內容移到初中，學生的認知水平有所提升，更符合學生的實際學習情況，也使教師的教學相對容易。初中主題與小學主題相互銜接，“數與式”是“數與運算”的延伸，“方程與不等式”“函數”主題是小學“數量關系”主題的延續和拓展［5］41-49。數量關系是數學研究的核心內容，是對現實生活中數量之間的規律和關系的表達。這樣的結構變化更加符合新的學段劃分以及當前學生的認知水平，使數與代數領域的內容層次更加清晰。
?。ǘ┚C合闡述統領，增加“學業要求”“教學提示”
《2022年版課標》在初中階段對“數與代數”領域的內容進行了綜合闡述，即在“內容要求”前說明了三個主題內容在數學學習中所扮演的重要角色及相應的作用，以及該領域內容所要發展學生的數學學科核心素養。闡明數與代數作為數學知識體系基礎之一的重要性，并進一步分析“數與代數”領域中“數與式”是代數的基本語言，“方程與不等式”揭示了數學中相等關系和不等關系兩種最基本的數量關系，“函數”則主要研究變量之間的關系［4］54。此外，《2022年版課標》對課程內容的呈現形式除“內容要求”外，還增加了“學業要求”“教學提示”，不僅從“學什么”“學到什么程度”“怎樣學”三個方面全面地表述課程內容，還讓教師明確了“教什么”“教到什么程度”“怎樣教”。這不僅體現了“教―學―評”的一致性，還增強了課程標準在教材編寫、教師教育教學以及課后教學評價中的操作性與指導性［6］?！皩W業要求”圍繞內容要求進一步明確學段結束時學習內容與相關核心素養所要達到的程度、對知識要求的呈現更加具體，與學業質量標準相對應，如圍繞“知道實數由有理數和無理數組成”這一內容要求，學業要求中更加明確要求學生要“感悟數的擴充”。而“教學提示”主要針對知識內容的教學和達成相關核心素養提供了較為詳細的教學建議，如在數與式的教學過程中，要求教師應把握數與式的整體性，幫助學生進一步感悟數是對數量的抽象［4］61。又如針對內容要求“通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義”，學業要求則進一步描述“會通過分析實際問題的情境確定二次函數的表達式，體會二次函數的意義”，教學提示中對相關內容提出具體教學建議“要通過現實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義”。這一部分的增加充分體現了課程標準是教材編寫、教師教學、考試評估的依據。
四、初中學段“數與代數”領域的知識內容比較分析
《2022年版課標》對于初中學段“數與代數”領域的知識內容進行了相應的增加、刪減以及知識呈現順序上的調整。增減內容詳見表1。
（一）新增知識內容，加強代數推理
《2022年版課標》在“數與代數”領域主要增加了推理要求，將其放在了重要位置；新增“了解代數推理”的知識內容，即能夠用乘法公式、字母進行推理。代數推理就是從一些數學事實、概念、定理、公式、法則、性質出發，依據邏輯順序進行定量的計算或說理，得到特定的目標結構（數值）或者說明某個結論的思維活動［7］，以及“能利用（乘法）公式進行簡單的計算和推理”的增加，有意識地讓學生進行推理，突出了代數推理的應用。這些內容的增加旨在強化代數推理，幫助學生體驗代數運算的特性并且提升推理能力［5］41-49。此外，還增加了“負數的意義”，對應在案例中新增“例64 負數的引入”，借助歷史資料說明最初負數引入的意義，體會古代數學家的貢獻；“知道實數由有理數和無理數組成”，將與數軸一一對應的數系從有理數擴大到實數，感悟數系的擴充；新增“會進行簡單的近似計算”，新增的“例65 簡單近似計算”也正是對這一內容要求的補充；“知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系”，體現了數形結合的思想；新增“會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題”，把握二次函數最大最小值的性質，能逆向求解自變量的值，與實際情況相聯系可以更好地運用情境教學。這些內容都更加明確地指向“數與代數”領域內容的學習，將知識與實際相聯系，增強知識的運用能力。
（二）刪減調整內容，增強其整體性
將“理解乘方的意義”單獨作為一條內容要求呈現，更加清晰地體現了“乘方”這一概念的引入，并把與實數相關的知識點提前，把與平方根相關知識點錯后，由淺入深，層次更加清晰；在方程與不等式主題中，由于“一元二次方程的根與系數的關系”是在高中需要使用的知識點，往往中考又不涉及相關內容，初中教師一般會忽略該知識點，使得新高一學生不知道、不會使用。因此，《2022年版課標》將“一元二次方程的根與系數的關系”作為必學內容，但僅限于了解該結論的程度。這一內容由選學變為必學，增加了不同學段之間知識的銜接以及縱向上的整體性，通過新增“例67 一元二次方程的根與系數的關系”讓學生感悟符號表達對于數學發展的作用。在函數主題中，將“函數”標題改為“函數的概念”，凸顯概念教學在數學中的重要性；將特殊函數的順序由“一次函數、反比例函數、二次函數”改為“一次函數、二次函數、反比例函數”，順序上的調整更加符合學生的認知發展規律以及數學內容的發展進階性、知識之間的整體性。
此外，《2022年版課標》對部分知識內容進行整合，將“整式與分式”單元合并到“代數式”單元中；將“有理數的混合運算與運算律的運用”合并，混合運算與運算律的運用之間關系密切，邏輯上更加合理；新增“知道二次函數和一元二次方程之間的關系”，增加知識之間的聯系。這些均充分體現出知識內容整體性的增強，在教學過程中也強調通過對內容的整體分析，幫助學生建立結構化的數學知識體系［8］。
五、教學啟示
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《2022年版課標》中核心素養的深入是此次課程標準修訂較為重要的一部分，核心素養重組和完善了核心概念，充分體現了核心素養的一致性、進階性與發展性，而在初中學段數與代數領域主要凸顯抽象意識、代數推理以及模型觀念。教師應重視學生核心素養的發展，將其滲透到平時的課堂教學中，從培養推理能力、發展素養的角度出發引導學生學這些知識。如在數與式的教學中，通過負數、有理數和實數的認識，幫助學生感悟數是對數量的抽象，形成抽象意識；讓學生能夠用乘法公式、字母進行簡單的計算推理，加強對代數推理的滲透，形成推理能力；在函數教學中，讓學生能夠體會函數圖象與表達式的關系，增強幾何直觀，體會數形結合的思想，并能結合實際問題建立數學模型，形成模型觀念。這樣的課堂教學使學生的核心素養以及“四基”“四能”多維水平逐步達到學業質量標準。
?。ǘ┰趦热萁Y構化中凸顯代數思想
數與代數是數學知識體系的基礎，是義務教育階段數學教學的重要內容，是學生認知數量關系，進一步探索數學規律、建立數學模型的基石。因此，在教學中，教師應凸顯代數思維的統領意識，引導學生能夠借助數學思維從解決一個數與代數的問題向解決一類數與代數問題的方向進階發展。數與代數等領域的內容一直是傳統數學中的核心內容，而我們當下的教學也應做出一些適當的改變來適應新的課程標準。因此，教師需要在進一步研讀《2022年版課標》的基礎上改進教學方式且有效提高教學質量，在講授知識中體現代數思想。如在方程的教學上，教師要讓學生感知學習方程的必要性，而不是單純講方程的概念。根與系數的關系調整為必學內容，要讓學生知道利用一元二次方程的根與系數關系可以解決一些簡單的問題。用配方法推導求根公式時，教師要把根與系數關系的來龍去脈講清楚，而不是強調復雜的計算練習［9］。
?。ㄈ┰诮鉀Q實際問題中融合跨學科知識
在方程和函數的教學中，需要從實際問題出發，構建模型。如在一元二次方程的教學中，首先要從實際問題中抽象出數量關系，列出關于未知量的一元二次方程，運用一元二次方程的解法求得其解，進而解決實際問題。因此，教師可引導學生自己在真實生活中尋找實例，組織開展實踐，再進一步通過數與代數的知識解決實際問題。又如在函數的教學中，教師可以通過豐富的實例來創設各種變化關系的問題情境，與綜合與實踐領域“體育與心率”項目式學習相結合，綜合數學、體育、生物學等知識，讓學生通過具體研究“運動類型、運動時間與心率的關系”體會變量之間的對應關系，建立函數模型。這樣的教學過程充分體現學生在教學中的主體地位，并融合了其他學科知識，進而體現《2022年版課標》的新要求。
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