豎式加法教學設計新視角
來源:用戶上傳
作者:張昆
?。壅?要］ 通過分析教材發現，教科書在豎式計算所選擇的內容與途徑時存有瑕疵。為此，在進行教學設計及其課堂實施時，通過橫式加法計算時使用的“拆分”與“湊十”技術，發現橫式加法具有由“個位上的數”與“個位上的數”相加，“十位上的數”與“十位上的數”相加的典型特點，這種特點的合理表征，就為學生將橫式加法轉化為豎式加法提供了現象上與思想上的準備，據此啟發學生產生對豎式加法的認識。
?。坳P鍵詞］ 加法計算；豎式加法；教科書瑕疵；教學設計
一、問題的緣起
人教社編制的義務教育數學教科書將豎式計算加法教學內容安排在二年級上（第3冊）“100以內的加法和減法”這一節中，使用了普通生活中的一個情境，現將這一情境簡述為：二（1）班有35名學生去參觀博物館，由2名老師帶隊，問二（1）班的學生和本班的帶隊老師一共多少人？首先列出了加法的橫式35+2①；然后直接將這個橫式加法轉化為豎式加法（記為豎式②），計算途徑如下：
教科書提供的教學素材在于引導教師向學生一步一步解釋，幫助學生掌握從橫式①轉化為豎式②的技術，即在合適的位置上寫出被加數35，在35的個位數正下方寫出加數2，然后在加數2的同一行且在被加數的十位上的數3的前方寫出加號，在加號與加數的下方畫一條橫線（這條橫線相當于橫式加法中的“等于”號），如此就將橫式所表述的加法①式，轉化為豎式加法②式。接著，教師指導學生依據豎式形式，先將處于上下位置上的個位數5與加數2相加得到個位數7，再將這個7寫在加數的縱列個位數與橫線的正下方，由于沒有進位，故把被加數中的十位數寫在被加數的十位數3縱列與橫線的正下方，如此得到結果37。于是，將這個運算結果轉化為橫式①的運算結果35+2=37。
下一步，教科書呈現了一系列的橫式加法計算的題目，幫助教師指導學生將這些橫式計算途徑轉化為豎式計算途徑（其實是以豎式計算為工具的方式），促進學生鞏固使用豎式計算的操作技能。接著，教科書又選擇了兩個數相加時個位數需要進位的加法（例如，35+17=52③），要求學生采用豎式加法計算途徑（橫式③相對應的豎式加法途徑記為④）。
筆者經過現場模擬授課、調查與訪談等途徑，發現不少數學教師在教學中利用上述的這種實際豎式計算活動環節及其組成過程，在講解豎式計算后總結出兩個數的豎式加法途徑：（1）相同數位上下對齊（簡稱上下對齊）；（2）從個位數開始計算（簡稱先算個位）；（3）滿十向前進一（簡稱滿十進一）。最后，筆者告訴學生：具有這種加法前后相承三個環節特點的計算途徑，稱為豎式加法法則。
由于教科書（特別是人教社的）對于數學教師教學與學生學習具有強烈的示范作用，因此，普通教師大多數時候的施教，可能就是不加變更地執行教科書安排的內容線索，學生也就不得不依據教科書通過教師的安排展開學習活動。在這種施教的情況下，通過仔細分析橫式計算式①到豎式計算式②的環節可以認識到：其實，算式①與算式②之間沒有實質性聯系。這就導致了學生只能通過接受的方式學習豎式加法法則。
因此，如果教師不具備二次開發教材的能力，只能亦步亦趨地沿著教科書設定的軌道行進，那么學生也只能通過機械訓練的途徑，來掌握豎式加法法則中的幾個具體環節。當然遇到問題時采用這種豎式加法法則加以解決，也是可以達到目的的。使用這種教學途徑所得到的關于兩數加法的豎式計算，不就是將學生訓練成某種意義上的加法計數器嗎？因為，學生只知道依據豎式加法法則的程序執行計算，就會比較間接地得到計算的結果，至于為什么這種豎式計算法則是有效的，其心理來源是什么？學生認識不到。這種教學導致的結果是學生只知其然，不知其所以然。因此，這與當代數學教育教學理念格格不入，是背道而馳的。
那么，關于豎式加法法則的建立，數學教師需要找到何種途徑進行教學設計及課堂實施才能促進學生既知其然，又知其所以然，從而發揮這個數學知識點的教學價值，實現數學教學目標呢？這就需要教師通過仔細地分析教材，找到創新的方法設計建立豎式加法法則的課堂教學活動。
二、建立豎式加法法則的創新教學設計示例
筆者通過分析承載豎式加法計算知識點的人教社教材，發現在一年級下學期的“20以內的加法”教學內容中，學生已經能從兩個加數中“拆分”較小的加數與較大的加數“湊十”，如此，形成了橫式進位加法法則。這其實就是使用加法結合律與加法交換律，得到進位加法的一種途徑。由此認識到，在“100以內的進位加法”中所形成的豎式加法法則肯定源于這種“拆分”與“湊十”。這究竟是怎么回事呢？
透過具體的“20以內的進位加法”例子來看建立橫式加法法則的“拆分”與“湊十”的途徑：例如，9+3=9+（1+2）=9+1+2=（9+1）+2=10+2=12⑤。算式⑤中的第一個等號將3拆成了（1+2）；第二個等號去掉（1+2）的括號，得到1+2，形成“拆分”；第三個等號是將9與1相加，加上括號形成（9+1），這就是“湊十”，形成第四個等號；最后一個等號是算的自然結果。在這個過程中，這種加法的交換律與結合律是“拆分”與“湊十”的書面語言。因此，在心理的認知出發點中，學生已經掌握了這種使用加法結合律與交換律工具進行計算與解決問題的方法。
在“100以內的進位加法”中，筆者先以35+2為例加以說明：35+2=（30+5）+2=30+5+2=30+（5+2）=30+7=37⑥，如果從算式⑥的形式上考察，這就是將被加數35中的個位數上的數5與加數個位數上的數2相加，35中的十位上的數不變，即35+2=30+（5+2）⑦，構成了計算結果35；再以35+17為例，35+17=（30+5）+（10+7）=30+5+10+7=30+10+5+7=（30+10）+（5+7）=40+12=40+10+2=（40+10）+2=52⑧。如果從算式⑧的形式上考察，從中認識到，35+17=（30+10）+（5+7）⑨。
從教材分析的這些結果中，得到了算式⑦與算式⑨。以這些運算過程與結論為基礎，下面實錄筆者關于“100以內的進位加法”的教學設計及課堂實施中的后述部分的關鍵環節：
師：對于計算題35+2，通過橫式計算途徑，可以得到35+2=30+（5+2）⑦；對于計算題35+17，通過橫式計算途徑，可以得到35+17=（30+10）+（5+7）⑨。仔細觀察算式⑦與算式⑨，你可以用一種新的途徑對這兩道題進行計算嗎？
生：……（省略號表示學生思維的暫時中斷，下同）
師：我們在一年級時所做的加減法，都是采用這種橫式方式與途徑。大家仔細觀察算式⑦與算式⑨，可以發現這兩個算式具有共同點嗎？
生1：觀察算式⑦與算式⑨，我發現它們其實就是分別將個位上的數與個位上的數相加，十位上的數與十位上的數相加。
師：很好。在生1發現兩個數相加的這種特點后，你能創造出除了這種橫式加法途徑以外的其他加法途徑，從而繞過算式⑥與算式⑧，以提高加法計算的效率嗎？
注：雖然只是二年級上學期的學生，但是由于在一年級的整個一學年里，總是使用橫式進行兩個數的加減計算，如此形成了學生思維的消極定式，即在關于兩個數進行加減計算時，認為除了橫式這種途徑以外，就不再具有其他途攪?。震q褪俏什么在啟發學生從橫式計算途徑過渡到豎式計算途徑中所存在的心理疑難的原因。因此，筆者在教學設計時，選擇了算式⑦與算式⑨，鼓勵學生得出“分別采用個位上的數與個位上的數相加，十位上的數與十位上的數相加，這樣的橫式計算有些不方便”的結論。據此促使學生創造出使用豎式計算途徑進行進位加法。這是筆者這節課最為重要的教學目標，前述的一切工作都是為實現這項教學目標所做的鋪墊。
生2：以35+17=（30+10）+（5+7）⑨為例，算式⑨中是將十位上的數與十位上的數相加，個位上的數與個位上的數相加。可惜的是，35中的30與17中的10相加，其中間隔了35中的5，同樣，35中的5與17中的7相加，其中又間隔了17中的1（代表10），使計算不再直接……
師：那么，如何去掉生2所發現的這種加法計算時的數與數之間的間隔呢？
生3：如果將35寫在上面，17寫在35的下面，然后將35中的個位上的數5與17的個位上的數7上下對齊，將35中的十位上的數3與17中的十位上的數1上下對齊，即（記為豎式⑩――筆者，下同），這樣就可以將5與7相加，3與1相加，從而去掉了中間所間隔的那些數了。
注：生3的這種想法確實是一種高層次的創造，其源于消去生2所發現的橫式加法計算中的兩個相同數位上的數相加時的間隔。但是，與橫式35+17=52相比較，豎式⑩中既沒有加號，又沒有等號，難以表達具體的兩數加法的意義。因此，完善數式⑩成了學生思維的新動力。
師：⑩式不能很好地表示具體運算的意義與過程，這很可惜。怎么辦？
生4：給豎式⑩添上加號：（記為{11}式）。但等號加不上去，答案可以擺在這兩個數的下方……
師：不錯的想法。實際上，歷史上的數學家很早就選擇了這樣的表示途徑：（這就是上述所記的算式④）。那么，這種計算需要注意什么？
生5：個位上的數5加上7得12，這里12又要分成10+2，其中的10與兩個十位數上的數3（代表30）和1（代表10）相加，得到5，個位上的數為2，因此得到結論52。豎式④中的那條長的橫線，可以看作等號。
注：這種教學設計及其課堂實施，就是為了不完全依據教科書所呈現的內容引導學生學習，而想方設法啟發學生利用加法結合律與交換律所得到的橫式計算途徑，轉化為豎式計算途徑。依據個位上的數與十位上的數分別相加的特點，讓學生充分經歷從橫式計算轉化為豎式計算的過程，從而幫助他們突破消極的思維定式，形成思維的創造性，進而發揮這個知識點的教學價值，實現教學目標。學生需要從⑧式過渡到⑩式，⑩式過渡到{11}式，{11}式過渡到④式，這樣一步一個腳印地走過來，由此將橫式加法現實地、具體地轉化為豎式加法。
從橫式加法轉化為豎式加法，看上去只不過是將數據的方位重新進行排列，但是對于剛剛進入二年級的學生來說，這是很難實現的一項重大事件，教師在這個關鍵性節點上要想方設法地幫助學生。絕大多數教師對于數學教科書或多或少地具有依賴性，因此，在利用教科書教學時，教師一定要依據知識特點對教材進行二度開發，采取合作探究的模式啟發學生自己萌生對相關數學知識點的認識，而不是直接把知識告知學生，以免造成不良的教學后果。
三、簡要結語
數學教學設計及其課堂實施的一項非常重要的目標，就是要設法啟發學生針對具體數學知識信息的特點，萌生出具體的數學思想觀念，再在這種思想觀念指令的支配下，形成具體可操作的數學方法，從而從心理上發生數學知識認識［１］。這就需要教師認真地進行教材分析，吸收其精華，改進其瑕疵，例如，關于“100以內的進位加法”的豎式計算途徑，教科書只是將這種途徑原原本本地奉獻于學生，而不是啟發學生自己萌生出這種思想，這便極大地損傷了它的教學價值，對此，教師需要思之再思，慎之又慎?？偠灾?，教師應將這種知識直接奉獻于學生的教學途徑，改造成啟發學生自己去創造與發現知識的教學途徑。
參考文獻：
?。郏保?張昆. 整合數學教學中設置問題的取向――透過“觀念性問題”與“技術性問題”的視點［Ｊ］. 中小學教師培訓，２０１９（０６）：５３－５６.
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