數學期望概念的教學方法研究
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【摘 要】數學期望的概念是比較抽象的，本文通過與現實生活緊密結合的兩個例子來引入數學期望的定義，給出離散型、連續型隨機變量期望的概念，最后以例題講解的方法加以鞏固。
【關鍵詞】數學期望;隨機變量;絕對收斂
【中圖分類號】G62.03 【文獻標識碼】A
【文章編號】2095-3089（2019）15-0228-01
一、概念的引入
對一個新的知識而言，引入是關鍵的。在講解數學期望的定義時，我們沒有直接給出概念，而是通過兩個適當的例子，通過對例題的講解來引導學生理解概念。
例1.甲乙兩人賭技相當，各出50元賭金，約定先勝三局者為勝，勝者可得100元。由于出現意外狀況，在甲勝2局乙勝1局時，不得不終止賭博，現在該如何分配賭金才算公平呢？
首先，我們引導學生思考，如果繼續賭2局，會有什么樣的結果呢？會有以下四種情況：
甲甲 甲乙 乙甲 乙乙
在前三種結果中，都是甲獲勝。也就是說，在賭技相同的情況下，甲、乙最終獲勝的可能性大小為3：1。
即甲獲得的平均賭金為：100×34+0×14=75
乙獲得的平均賭金為：100×14+0×34=25
因此，為了公平，應該是甲獲得75元，乙獲得25元。
例2.想要了解某一代表性人群的平均年齡，對某校某專業20名研究生年齡統計如下，求其平均年齡。
〖HTSS〗〖BG（！〗〖BHDFG1*2，FK4，K4。4，K4F〗
年齡〖〗20〖〗21〖〗22〖〗23〖〗24
〖BHD〗人數〖〗1〖〗2〖〗8〖〗3〖〗6〖BG）F〗
通過提問“如何計算平均年齡x呢”，引導學生思考，增加學生的好奇心。
x=20×1+21×2+22×8+23×3+24×6〖〗20
=20×1〖〗20+21×2〖〗20+22×8〖〗20+23×3〖〗20+24×6〖〗20
=22.55
即對一組給定的數值x1，x2，…，xn，如果在n次觀測中出現的頻率分別為f1，f2，…fn，其平均值為
x=x1f1+x2f2+…+xnfn=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗xifi
當n充分大時，頻率fi在一定意義收斂于概率pi，因此，數學期望為x=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗xiPi
從以上兩個例子中，可以看出，數學期望實質上是簡單算術平均值的一種推廣，是理論上的平均值。
二、概念的理解
由上述的例子，引出了離散型數學期望的定義：
設X是離散型隨機變量，它的分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，如果級數∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk絕對收斂，則稱此級數的和為X的數學期望，記為E（X）=∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk。
在此定義中，絕對收斂指的是級數∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗|xk|pk是收斂的，即級數改變項的次序后得到的新級數仍是絕對收斂的，級數的和不變。因為數學期望是一個數，不能因為級數的改變項的次序后和就發生改變。反之，如果∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk不是絕對收斂，則期望不存在。數學期望反映的是隨機變量取值的平均程度。
設X是連續型隨機變量，它的概率密度函數為f（x），如果積分絕對收斂，則稱此積分為X的數學期望，記為E（X）=∫+∞-∞xf（x）dx。
此定義可理解為：對連續型隨機變量X來說，X落在x這一點，長度為dx的區間的概率近似為f（x）dx，由微元法，將量xf（x）dx求和取極限，就得到連續型隨機變量X的數學期望的定義。因此，連續型隨機變量數學期望的定義是離散型隨機變量數學期望的自然延伸。
三、數學期望的求法
面對一個具體的問題，如何求數學期望呢？通過一個具體的例子來加以說明。
例3.從數字1，2，…，n中任取兩個不同的數字，求這兩個數字之差的絕對值的數學期望。
引導學生進行分析，要求離散型隨機變量的數學期望，必須要求離散型隨機變量的分布律，因此，我們考慮取出的兩個數字之差絕對值的所有可能的取值及取相應值的概率。
令X為取出的兩個數字之差絕對值，則X所有可能的取值為1，2，…，n-1，
P{X=k}=n-k〖〗C2n，k=1，2，…，n-1
則E（X）=∑〖DD（〗n-1〖〗k=1〖DD）〗kn-k〖〗C2n=n+1〖〗3
四、結束語
在本內容的講授中，通過賭金分配問題和某專業研究生的平均年齡兩個具體的例子引出數學期望的定義，很好地抓住了學生的眼球，引起學生的高度興趣，也讓學生充分了解隨機變量數學期望產生的背景，了解到數學期望是在解決實際問題中產生的，并通過提問和交流讓學生真正理解數學期望的概念。
參考文獻
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作者簡介：陳潔（1976-），女，湖北襄陽，博士，系統分析與集成，湖北工業大學，理學院。
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