淺論數學分析中極限問題的存在性和若干求解方法
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摘要：文章首先介紹六大實數集完備性定理以作為求取極限的基礎，然后介紹一元函數求極限的方法，包括極限定義法、極限的四則運算、函數迫斂性、兩個重要極限、單調有界原理、洛必達法則、泰勒公式，重點在于對它們互相進行對比，找出它們各自的優點，指出它們各自所適用的情況，力求在遇到極限問題時能靈活運用各種方法，找到最簡易的解法。
關鍵詞：實數集完備性定理;極限;一元函數
一、引言
微積分的思想在公元前7世紀就已經產生，但并不是十分明顯。在公元前3世紀，偉大的阿基米德就利用窮竭法求出了拋物線、螺線、圓的面積以及橢球體、拋物面體等各種復雜幾何體的表面積、體積公式。
在中國，三國時期的劉徽發明了世界聞名的割圓術。南朝時的祖氏父子更是將圓周率計算到了小數點后七位。此外祖暅之提出的祖暅原理也比西方早了一個多世紀。而這些成就大多也包含了微積分的思想在其中。
直到15世紀初，人們的科學技術開始要求更加強勁的數學工具。具體來說有不同領域的四個問題促使了微積分最終的發明。這四個問題是：運動中速度、加速度、距離之間的虎丘問題，尤其是非勻速運動，使瞬時變化率的研究成為必要;曲線求切線問題，例如要確定透鏡曲面上任意一點的法線等;從求炮彈的最大射程，到求行星軌道的近日點與遠日點等問題提出的求函數的極大值或極小值問題;當然還有千百年來人們一直在研究如何計算長度、面積、體積與重心等問題。
其中，第一、第二、第三促進微分的發展，第四問題促進積分的發展。
微分與積分起初是互相獨立發展的，開普勒、伽利略、費馬、笛卡爾、卡瓦列里、巴羅等人做出了不可忽略的貢獻，直到牛頓和萊布尼茲對微分和積分進行了統一。
牛頓從1664年開始研究微積分。1665年5月，牛頓發明了“流數術（微分法）”，1666年5月，發明“反流數術（積分法）”，并于1666年10月將其整理成文，命名為《流數簡論》（未發表）。這是歷史上第一本系統描述微積分的學術書籍。
在1673年，萊布尼茲提出特征三角形（ds，dx，dy），并認識到特征三角形在微分中的重要意義，又因為牛頓使用的運算符號過于復雜，所以當代的數學分析采用的是萊布尼茲的符號體系。
數學是十分嚴謹的學科，追求精確的證明。但是整個微積分體系都是建立在無窮的層面的，是十分模糊的概念。于是還有一批數學家便投身與微積分的嚴格化的論述。這項工作最終是由柯西完成的，1821年，柯西發表《工科大學分析教程》;1823年，柯西發表《無窮小計算教程概論》;1929年，柯西發表《微積分學講義》，這三本著作建立了一個沿用至今的微積分模型，并嚴格定義了如極限、實數、無窮小等概念?？梢哉f柯西為微積分學嚴格化做出了巨大貢獻。
至此，微分、積分已經被牛頓統一在一起，運算符號體系已經被萊布尼茲所建立，嚴格化的證明也被柯西完成，微積分幾乎是一個完整的數學分支了。
二、實數系完備性定理
在求取極限之前，先要確定極限的存在。閉區間套定理、有限覆蓋定理、聚點原理、柯西收斂準則、單調收斂原理、確界原理這六個定理之間的組合可以證明極限的存在。
1. 確界原理：非空有上（下）界實數集必有上（下）確界。
說明，我們假設實數集存在一個不連續點（設為a）。那么集合（-∞，a）不存在上確界，但是根據確界原理，該集合必有上確界，矛盾，所以實數集連續。將這個定理稱為“實數系連續性定理”。
2. 單調收斂原理：單調有界序列必收斂。
3. 閉區間套定理：設{[an，bn]}是一列閉區間，并滿足：
（4）有限覆蓋定理：設A是R中的一個子集，{Eλ}λ∈Λ是R中的一族子集組成的集合，其中Λ是一個指標集。若A？哿∪λ∈ΛEλ，則稱{Eλ}λ∈Λ是A的一個覆蓋;若{Eλ}λ∈Λ是A的一個覆蓋，而且對每一個λ∈Λ，Eλ均是一個開區間，則稱{Eλ}λ∈Λ是A的一個開覆蓋;若{Eλ}λ∈Λ是A的一個覆蓋，而且Λ的元素只有有限多個，則稱{Eλ}λ∈Λ是A的一個有限覆蓋。
（5）聚點原理：設E是R中的一個子集。若x0∈R（x0不一定屬于E）滿足：對？坌δ>0，有U0（x0，δ）∩E≠？覫，則稱x0是E的一個聚點。R中的任意一個有界無窮子集至少有一個聚點。
（6）柯西收斂準則：設{xn}是一個序列，若？坌ε>0，？堝N，當n，m>N時，有|xn-xm|<ε，則稱{xn}是一個柯西序列。{xn}收斂的充分必要條件是它是一個柯西序列。
說明，這一原理表明一個柯西數列必存在實數極限，也就是實數集的完備性。
所以這六個定理是相互等價的，它們都說明了實數集的連續性和完備性?？梢杂眠@六個定理的一個或多個來判斷極限的存在，這為求取極限奠定了基礎。
三、一元函數求極限
（一）極限定義求解
補充三， 泰勒公式的應用是非常廣泛的，例如牛頓近似求根法（即牛頓迭代法）。牛頓迭代法就是使用f（x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f（x）=0的根，其最大的優點是在方程f（x）=0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的復根、重根，這種方法廣泛用于計算機編程當中。
四、總結
本文首先介紹了六個關于實數系完備性的定理。這六個定理保證了實數系的完備性，我們常常使用其中一個或多個證明極限的存在。
然后介紹了七種求極限的方法，每一種方法都有一些適用的地方以及需要注意的地方，下面一一總結。
對于第一種定義法，其實并不常用，只有那些相對簡單的極限適合用這種方法。在采用定義法之前，必須先判斷該極限的值，再對這個值極限證明。
對于第二種方法四則運算求解，適合于一些通過四則運算將簡單函數連接起來形成的函數。在使用除法法則前一定要判斷被除極限是否為零（如果為零可以嘗試采用洛必達法則），而有限個加減乘的運算就可以放心使用了。
對于第三種方法迫斂性求解，尋找兩個滿足條件（極限相同、大小始終夾原來的函數）的函數是比較困難，比較麻煩的，所以這種方法也不常用。
對于第四種方法兩個重要極限，這個方法非常重要，幾乎五成的題目都可以轉化成兩個重要極限的形式，當然這個方法也需要一定的數學能力將其進行轉化。
對于第五種方法單調有界定理，這里要先證明該函數滿足單調增（或減），以及函數有界，然后進行計算。
對于第六種方法洛必達法則，這是非常靈活的方法，常常在四則運算嘗試后發現了一些比較特殊的形式，就會采用洛必達法則。
對于第七種方法泰勒公式，要采用這種方法的極限往往是導函數是自己或者導函數比原函數更復雜的函數，也就是在洛必達法則完全無能為力時，我們會使用泰勒公式簡化它，但是要注意該函數每一部分所取的導數階數都是相同的，然后化簡后再求解。
參考文獻：
[1]臨沂大學信息與計算科學系.求解極限的若干方法[D].臨沂大學，2014.
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[4]鄭慶玉，郭政.數學分析方法[M].電子工業出版社，2010.
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