具捕殺效應的SEI狂犬病模型的空間動力學分析
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摘 要： 為討論針對性的捕殺對狂犬病傳播的影響，研究了一類具捕殺效應的易感者-潛伏期感染者-已經感染者（SEI）狂犬病模型.通過相應的特征值問題，引入基本再生數，并利用上下解方法建立了平衡點的穩定性.結果表明：有針對性的捕殺對狂犬病的控制和預防起著重要的作用.
關鍵詞： 易感者-潛伏期感染者-已經感染者（SEI）狂犬病模型; 捕殺效應; 基本再生數; 穩定性
中圖分類號： O 715.26文獻標志碼： A文章編號： 1000-5137（2019）02-0113-07
1 具捕殺效應的狂犬病模型
狂犬病是感染中樞神經系統的狂犬病毒所導致的急性傳染病，是一種人畜共患病，主要通過撕咬等直接接觸傳播，多發生于犬、狐貍、狼等動物，人患狂犬病主要由狗傳染導致.狂犬病沒有有效的治療手段，一旦到臨床階段，死亡率近100%.因此，狂犬病對人類來說是一大威脅.為了更好地預防和控制狂犬病，人們建立了大量的數學模型來研究狂犬病的傳播機理.
MURRAY等[1]研究了一類狐貍間狂犬病空間傳播的易感者-潛伏期感染者-已經感染者（SEI）擴散模型
其中，S，E和I分別表示易感狐貍、感染的但沒有傳染性的狐貍和已感染狂犬病的狐貍的密度，N=S+E+I，是t時刻單位面積上的狐貍總數，D是擴散系數，a是出生率，b是內稟死亡率，K是環境容納量，β是疾病傳播系數，σ是狐貍從感染到傳染的轉化率，α是患病狐貍的病死率，（a-b）N/K表示食物耗盡導致的狐貍死亡率.假設a>b，以確?？沙掷m的種群規模.
事實上，狂犬病作為動物傳染病，主要受環境異質性與棲息地的空間分布影響[2-3]，疾病傳播系數、無病平衡點和擴散系數都與空間有關.此外，狂犬病的空間控制行為，如捕殺和接種疫苗[4-5]，導致種群的死亡率和無病平衡點與空間有關.因此，在式（1）的基礎上，擴散系數D（x）、疾病傳播系數β（x）和患病狐貍的死亡率α（x）也均與空間有關.
人為控制狂犬病的傳播通常有捕殺、免疫和捕殺-免疫相結合3種方法.對于野生狐貍，強制免疫需要損耗大量的人力和物力，因而本研究主要考慮針對性地捕殺患病狐貍對狂犬病傳播的影響.為了考察捕殺和空間環境異質性在狂犬病傳播和預防過程中的影響，研究如下反應擴散問題：
2 基本再生數
在此引入基本再生數R0，并且分析其性質.基本再生數在傳染病學上是反映疾病是否蔓延或消退的重要閾值，因而研究基本再生數的性質對理解狂犬病模型的動力學行為有著重要的意義.
易知系統（2）存在無病平衡點（0，0，K）.將系統（2）的前3個方程在（0，0，K）處線性化后得
線性化后的第三個方程與前兩個方程不是耦合的，因此只需考慮前兩個方程.下面首先考慮如下的特征值問題：
定理結論中1）的單調性證明類似于文獻[7]中的推論2.3，結論2）和3）的單調性由R0的表達式直接得到.
3 無病平衡點的穩定性
在討論無病平衡點的穩定性前先給出問題（2）上下解的定義.
定義1
假設R0<1，則問題（2）的無病平衡點（0，0，K）是局部漸近穩定的.
引理2
問題（5）有一個實的主特征值λ*和正的特征函數.
證明
將問題（5）改寫為等價形式
因此，對任意固定的x∈Ω，當t→∞時，E（x，t）和I（x，t）趨向于∞，這與式（10）矛盾.定理證畢.
通過上述結論，可以發現有針對性地捕殺對狂犬病傳播控制起著重要的作用.當捕殺力度k較小時，R0>1，由定理2，無病平衡點不穩定，意味著當捕殺力度減弱，狂犬病可能持續.而當捕殺力度k較大時，由定理1，隨著時間的推移，感染狐貍E（x，t）和患病狐貍I（x，t）快速消退，且易感狐貍S（x，t）收斂于正穩態解，故可以通過加強捕殺患病狐貍的力度來控制狂犬病的傳播.
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