傅里葉級數構造的裝飾圖案分析
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摘要：在非線性動力系統的計算機可視化研究中，參考Clifford A.Reiter構造“平面結晶體群”的方法，提出截斷傅里葉級數構造的平面對稱動力系統.分析傅里葉級數的迭代映射的特點，以矩陣乘積的運算形式為工具，構造出非線性函數的截斷傅里葉級數對應的平面動力系統.構造出3族截斷傅里葉級數的平面對稱動力系統，運用蒙特卡羅搜索法選定參數向量，通過李雅普諾夫指數確定動力系統的動力學特性，繪制出3族迭代映射對應動力系統的周期窗口內的混沌圖案.提出了一個構造正方形格子平面排列的對稱動力系統的方法，采用本文提出的方法可以大量構造正方形平面排列的混沌圖案，從而為建筑裝飾圖案提供了大量的結構新穎、獨特別致的素材.
關鍵詞：裝飾圖案;截斷傅里葉級數;周期窗口;充滿Julia集
中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2019）05-0024-03
混沌動力學和分形幾何學是非線性科學的重要組成部分，也是當前科學研究的前沿.20世紀70年代，B.B.Mandelbrot在計算機上構造出了以他的名字命名的Mandelbrot集[1-2]，并創立了分形理論，提出了一種能夠用于描述大自然的新幾何語言，同時，隨著計算機軟硬件技術的迅速提高，使得動力系統圖形化方面的研究工作得以深入開展.運用混沌、分形理論和計算機圖形化研究，可以進一步探索直觀生動的可視化圖像的證明與構造機制，為發現新現象、研究新規律提供了新的思路.利用分形、混沌等概念大量構造的混沌吸引子圖案和各種分形圖案的研究工作吸引了從事數學、計算機、藝術設計各個領域研究人員的研究興趣[3-5]，在這些領域中所取得的研究成果使得人們進一步認識到科學與藝術不可分割的關系.歷史告訴我們，新幾何學的出現可以成為藝術發展的主要催化劑.由此，分形幾何預示著藝術的又一個新的發展.
本文分析傅里葉級數迭代映射的特點，以矩陣乘積的運算形式為工具，利用截斷傅里葉級數構造出不同的非線性函數對應的平面對稱動力系統.運用蒙特卡羅搜索法選定參數向量，并通過李雅普諾夫指數確定動力系統的動力學特性，構造出周期窗口內的混沌分形圖案.從而為建筑裝飾圖案提供了大批題材新穎、內容生動、形式優美的新圖案.
1 截斷傅里葉級數
1.1 傅里葉級數的定義
2 截斷傅里葉級數構造的裝飾圖案
2.1 截斷傅里葉級數的圖形化
文獻[6]中提出選取原點附近的固定點為初始迭代點，隨機選取一組對應的動力系統的參數，計算對應的李雅普諾夫指數L，并通過挑選使動力系統的L>0的參數構造生成混沌吸引子.但在實際應用中，如果這個固定的初始迭代點不在吸引子的吸引域內，迭代后將不會逼近混沌吸引子，因而不可能用這個固定點得到正確的相應的動力系統的L值.本文采用了一種新的確定初始迭代點的有效方法，即尋找給定參數下的動力系統的Jacobin矩陣行列式值為零的動力平面上的極值點集[7-12]，因此，采用文獻[7-12]中的判斷動力系統動力學特性的方法隨機挑選參數，構造L<0的動力系統的充滿Julia集.
2.2 截斷傅里葉級數構造的裝飾圖案
建筑裝飾是為保護建筑物的主體結構、完善建筑物的物理性能、使用功能和美化建筑物，采用裝飾裝修材料或飾物對建筑物的內外表面及空間進行的各種處理過程.裝飾圖案是指設計者根據用途，對象造型、紋樣、材料配置及工藝處理，用圖的形式表現的設計理念.裝飾圖案的合理應用能給建筑及其環境帶來無限生機和藝術魅力，給人以美的享受[13].
本文將截斷傅里葉級數與混沌分形相結合，生成了3族迭代映射對應的平面對稱動力系統的充滿Julia集圖形，直觀形象地顯示了它們的分形特征.這些奇妙的混沌分形圖像不僅具有重要藝術價值，而且可以用于各種需要新穎圖案的建筑設計、包裝設計、服裝設計、裝飾布設計、彩色裝飾材料設計、紡織印染圖案設計、廣告設計等等行業，具有廣闊的應用前景.圖（2）給出了圖（1）的3副圖在建筑裝潢設計中的應用.
3 結論
本文結合文獻[3]，同時利用截斷傅里葉級數的不同組合形式構造了3族迭代映射.研究3族迭代映射對應的平面對稱動力系統的動力學特性，運用蒙特卡羅搜索法隨機搜索參數，并通過李雅普諾夫指數確定動力系統的動力學特性，繪制出3族迭代映射對應動力系統的周期窗口內的混沌分形圖形.本文提出了一個構造正方形格子平面排列的對稱動力系統的方法，采用本文提出的方法可以大量構造正方形平面排列的混沌圖案，從而為建筑裝飾圖案提供了大量的結構新穎、獨特別致的素材.
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