關于一道平面幾何問題的多種解法及思考

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　　一、引言
　　眾所周知，平面幾何是數學產生的最早形態之一，平面幾何通過研究二維平面內的一維直線、曲線的幾何結構及度量性質，來解決生活中常見的二維數學問題。它的每一則證明，每一個定理，都無不展現著數學家們早期對數學的感悟與理解，凝結著數學家們早期的思索與智慧，至今仍然源遠流長。
　　高中階段，平面幾何很少做單獨考察，而是與解析，向量等數學方法相互結合，以此達到對學生數形結合能力的培養與鍛煉。本篇文章主要從兩則平面幾何證明題展開，通過證明方法的多樣性來對平面解析幾何與向量兩種解法進行對比，并從中發掘兩種解題方法的內在聯系，體會數學之美。
　　二、問題的提出
　　3.分析解法
　　上述幾種解法中，在解的過程中，不難發現解題思路有兩種：一是純平面幾何法：構造特殊圖形，尋找等量關系，利用幾何定理證明。二是平面向量：通過設未知數，依據題中已知的等量關系列等式，并通過聯立解出未知數。此兩種方法各有千秋，但是，兩種方法是否有什么本質區別呢？若沒有，那么兩種看似截然不同的解題思路其內在又有什么深刻聯系呢？
　　平面向量是連通幾何與代數的重要橋梁。在解析還未被提出時，古代傳統平面幾何在一部分問題的解決上是那樣冗長與繁雜，人們為了解決某一個問題，往往不得不去構造十分復雜的圖形，做出大量輔助線，以利用某些公理或定理解決問題。但在笛卡爾首次提出“解析”的概念之后，幾何的發展便在歐幾里得建立的平面幾何時代的基礎上又產生了一個新的數學領域：解析幾何。而向量，這個早在亞里士多德時代便已經被提出的僅在物理學中有所應用的概念也再一次得到充分的利用，它與解析幾何的融合，成功簡化了不少繁瑣的歐幾里得平面幾何證明題。
　　那么，為什么向量會使證明步驟簡化不少呢？就拿本題來看，若沒有梅氏定理法的引理，而卻仍用平面幾何角度去入手解題時，仍處于高中階段的我們對于“四等分點”這個關鍵條件又該如何利用呢？似乎只有作輔助線一條出路了，但問題就是，做完輔助線后的計算量將十分大且龐雜，但為何用解析加向量法便會輕松不少呢？其實解析向量法只是將我們不熟悉的幾何線段間的數量關系全部利用未知數去量化，二者毫無本質上的區別，如本題中“四等分點”用向量表示十分簡單：即 ，向量法不僅表示有向線段長度十分容易，聯立有向線段間的矢量關系得到等式也是比較輕松。此法最終聯立等式的形式一般都是λ+?=0，從而以此得到?=0，λ=0。自然，求解未知數更是十分簡單。
　　數學總是講究一個條件一般便對應一個結論，而多個條件也可對應一個結論，多個條件一般每個都應加以利用，缺一不可。那么如何利用條件便也成了解題簡與繁的先決因素。但無論如何我們都必須去設法利用到每一個條件。平面幾何的方法是構造圖形，而向量的方法便是解析運算。若平面幾何構造很簡單，平面幾何法自然是首選，若平面幾何構造十分復雜，不妨利用解析向量法，如此便可輕松充分利用題目中每一個條件，得到準確的等量關系，從而解決數學問題。
　　三、結尾
　　代數可以脫離幾何而單獨存在，幾何也可以脫離代數而單獨存在，但大部分情況下，二者總是有著較深的內在聯系。正是代數與幾何的內在結合，才有了數學之美，正是有了代數的嚴謹與幾何的遐想，才有了每個數學家心中的美麗心靈。
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