高中數學中曲線對稱的解法及應用

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　　【摘 要】對稱問題是高中數學重點和難點的內容之一，本文主要介紹曲線關于點和直線的對稱問題以及曲線自身的對稱問題；通過這兩個方面的總結，使學生在高考中碰到對稱問題能夠迎刃而解。
　　【關鍵詞】對稱；點；直線；曲線
　　【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A
　　【文章編號】2095-3089（2019）13-0291-01
　　一、求曲線關于點的對稱曲線方程
　　若求曲線F（x，y）=0關于點的對稱問題即可以轉化為曲線上的點關于點的對稱問題解決，即任取曲線F（x，y）上任意一點（x，y）關于已知點的對稱點來替換曲線F（x，y）=0中相應的坐標即可。
　　1.曲線F（x，y）=0上任意一點（x，y）關于（x0，y0）對稱的曲線方程是F（2x0-x，2y0-y）=0
　　特別地，曲線F（x，y）=0關于原點（0，0）對稱的曲線方程是F（-x，-y）=0
　　二、求曲線關于直線的對稱曲線方程
　　若求曲線F（x，y）=0關于直線的對稱問題即可以轉化為曲線上的點關于已知直線的對稱問題解決，即任取曲線F（x，y）上任意一點（x，y）關于已知直線的對稱點替換F（x，y）=0中相應的坐標即可.
　　1.曲線F（x，y）=0關于直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）對稱的曲線方程是
　　證明：設A（x0，y0）為曲線F（x，y）=0上的點，A關于l的對稱點為B（x1，y1），則有
　　則
　　故所對應的曲線方程為
　　特別地，
　　①曲線F（x，y）=0關于x軸的對稱和y軸的對稱的曲線方程是F（x，-y）=0和F（-x，y）=0；
　　②曲線F（x，y）=0關于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0；
　?、矍€F（x，y）=0關于直線x=m和y=n對稱的曲線方程是F（2m-x，y）=0和F（x，2n-y）=0.
　　三、中心或者軸對稱曲線自身的對稱問題
　　曲線F（x，y）=0為中心或軸對稱圖形的充要條件是曲線上任意一點P（x，y）關于中心或軸對稱的點仍在曲線上（坐標替換曲線中相應的坐標曲線的方程不變）.
　　1.f（x）為定義在R上函數，a為常數，若對任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱.
　　證：令x=x-a，則有f（x）=f（2a-x），設A（A0，f（x0））為曲線上的點，且B（2a-x0，f（2a-x0））也在曲線上，并關于A對稱，則A，B的中點為（a，f（x0）），故此曲線關于x=a對稱
　　2.f（x）為定義在R上函數，a，b為常數，若對任意的x∈R，都有f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關于直線x=a+b2對稱.
　　證：令x=x-a，則有f（x）=f（a+b-x），設A（x0，f（x0））為曲線上的點，且B（a+b-x0，f（a+b-x0））也在曲線上，并關于A對稱，則A，B的中點為（a+b2，f（x0）），故此曲線關于x=a+b2對稱
　　3.f（x）為定義在R上函數，a，b為常數，若對任意的x∈R，都有f（a+x）=-f（b-x），則y=f（x）的圖像關于M（a+b2，0）成中心對稱.
　　證：證法同2，此時只需證出A，B的中點為（x=a+b2，0）即可。
　　參考文獻
　　[1]王朝銀.新課標創新設計.西安：陜西人民出版社，2011.
　　[2]任志鴻.十年高考分類解析與應試策略.海南：南方出版社，2012.
　　作者簡介：柳靜（1985.9-），女，湖北黃岡人，六盤水市第一實驗中學，中學一級教師，研究方向：高中數學教學。
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