基于Curvelet的圖像去噪研究
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作者: 周燕 劉媛
摘要：本文將扼要介紹Curvelet變換在圖像去噪方面的應用，結合研究中實現的部分算法進行實驗說明,并探討它的發展趨勢及一些有待進一步研究的問題。
關鍵詞：Curvelet 去噪 圖像 小波
1 前言
圖像在采集、傳輸過程中,各種干擾會導致圖像噪聲的產生,使圖像質量降低 。在對圖像進行處理之前，對其進行平滑操作是必不可少的步驟，降噪作為對圖像的預處理操作，其濾波結果直接關系到各種后繼算法的處理效果。關于圖像噪聲的濾除，許多學者進行了深入的研究，也提出了多種噪聲和能夠消除的算法【1】。
消除圖像中的噪聲作用是為了提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征。噪聲主要分布在高頻區域, 信號主要分布在低頻區域。但是信號的細節也可能分布在高頻區域,與噪聲重疊。因此應在降低圖像噪聲和保留圖像細節上保持平衡。既能夠降低噪聲, 又能夠保留圖像的細節去噪方法――小波變換，它使得這種期望成為可能。對二維圖像進行小波變換后，重要邊緣上的系數很大，這導致重建圖像時需保留大量的小波系數。但是數據的精簡與其精確性之間的矛盾不可調和，即使進行最好的折中，仍會產生較高的均方誤差。而自1999年問世的Curvelet變換在消噪方面優于小波的效果。Curvelet變換既保證較低均方誤差又平衡了圖像數據的精簡性和精確性，是因為對圖像邊緣的稀疏表示。
2 Curvelet理論
Curvelet變換的核心是Ridgelet變換，Ridgelet變換為多尺度變換，能有效地描述二維空間上具有直線奇異性的信號【2】。其使用Radon變換把線奇異映射為點奇異, 然后在Radon域中使用小波變換來處理點奇異。當處理一維直線上的點奇異性時, 小波可以達到期望的效果。當處理高維空間的超平面狀的奇異性時, 脊波能夠達到很好的效果,所以脊波和小波起到了相互補償的作用。Curvelet 變換首先對圖像進行子帶分解；然后對不同尺度的子帶圖像采用不同大小的分塊；最后對每個塊進行 Ridgelet分析每個子塊的頻率帶寬width、長度length近似滿足關系width = length2這種頻率劃分方式使得Curvelet變換具有強烈的各向異性，而且這種各向異性隨著尺度的不斷縮小呈指數增長研究表明 ,用有限的系數來逼近一段C2連續的曲線時，Curvelet變換的速度遠遠快于傅里葉變換和小波變換。換言之，對此類曲線而言，Curvelet變換是其最稀疏的表示方法。總之，Curvelet結合了Ridgelet變換的各向異性特點和小波變換的多尺度特點，它的出現對于二維信號分析具有重大意義。
根據上述理論，Starck等人提出了一種Curvelet變換的數字實現算法,其主要步驟為
?、僮訋Х纸?，采用小波變換把圖像分解到不同的子帶；
②分塊，每一個子帶加窗處理 ,而且每隔一個子帶 ,窗口的寬度增加一倍；
?、蹟底諶idgelet分析，對每一個正方塊進行?！?】
3 基于 Curvelet變換的硬閾值圖像去噪
基于curvelet變換的消噪算法主要有如下步驟：對含噪聲圖像進行curvelet 變換，得到每個子帶的curvelet 變換系數；對得到的curvelet變換系數進行閾值處理。由于 curvelet變換中，較大的系數對應于較強的邊緣，較小的系數則對應于噪聲，故保留較大的系數；對處理之后的curvelet 變換系數進行curvelet逆變換，得到消噪圖像。
利用Curvelet進行硬閾值去噪的基本思想與基于小波變換的去噪方法一致。設帶有加性噪聲的圖像為f(m,n)= f0 (m,n)+σN(m,n)。其中f0表示待恢復的真實圖像；N為標準高斯噪聲；σ2為噪聲方差。Curvelet變換的算子記為T，設fγCT=Tf表示帶噪圖像f在Curvelet變換后的系數，γ表示尺度，硬閾值法估計后的系數為，那么去噪函數為
其中：k為與尺度相關的參數；σγ2為進行Curvelet變換后噪聲方差。
在求解σγ2的過程中，采用Monte-Carlo分析方法，首先生成大量與f同規模的白噪聲信號，然后計算其curvelet變換所對應的TTT來作為分解后的噪聲方差
σγ2的估計，TT為T的共軛轉置矩陣。
以下是用Curvelet進行硬閾值去噪的實驗結果：
實驗結果證明：Curvele t去噪法的優勢在于它能較好地恢復圖像中的紋理信息和邊緣。硬閾值方法可以很好的保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現振鈴、為吉布斯效應等視覺失真。
4 結束語
綜上所述 ,雖然Curvelet變換誕生的時間不長，對它的研究還遠不如小波成熟 ,但是由于其嶄新的理論面貌和獨到的應用特點，已經得到了相關研究人員的高度重視 ,也取得了相當多的研究成果?？梢灶A見 ,Curvelet 在理論和應用上的研究還有很大的潛力。
Curvelet 變換在圖像去噪、增強、融合、恢復等方面顯示出了它優于其他相應的算法的特點。雖然經過幾年的發展 ,Curvelet 變換已經取得了很多研究成果 ,但是在理論、實現和應用上它還有許多可以進一步完善的地方，作為新生的小波時代的后繼者之一 ,Curvelet 變換還有更多的應用領域去開拓，鑒于其目前良好的發展態勢 ,我們相信該領域的研究有著光明的前景。
參考文獻：
【1】李慧娜，平源 有效去除圖像混合噪聲的方法 北京：計算機科學與設計2008
【2】孟紹良，王愛麗，楊明極 一種基于 Curvelet變換的圖像去噪方法 哈爾濱理工大學學報 2008
【3】劉廣東，陳阿林 基于curvelet變換的圖像去噪 重慶師范大學學報 （自然科學版）2009
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