淺談平方差公式和應用比例的推廣
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【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A
【文章編號】2095-3089（2019）11-0116-01
數學來源于生活，同時也應用于生活。下面我對中學數學中的平方差公式和應用比例的應用推廣的一點看法。
近年來的中、高考都考學生的實踐應用能力，考試的內容偏多。對于數學，提高學生的計算能力就贏得時間=贏得高或中考。
二十世紀八十年代初，正值我們孩提之時，從當時的《十萬個為什么》中獲得尾數是5的兩位數的平方的快捷算法。當時欣喜若狂，直到現在記憶猶新，此算法一直使用至今，終生受益。一些年后，當時常講授到平方差公式時，偶然發現原來我們當年學的尾數是5的兩位數的平方的快捷算法，卻來自平方差公式，或是說平方差公式可以證明快捷算法的可靠性、正確性。
由a2-b2=（a+b）（a-b）→a2=（a+b）（a-b）+b2
于是有例852=（85+5）（85-5）+52=90×80+52=7225
這里我們把90×80暫稱為前積A，52稱為后積B，容易看到：前積A=90×80，正好是85首位80與10的和乘以首位80.為了書寫方便，省去零，寫成如下形式，即
〖XC33.JPG;%29%29〗
歸納：
尾數是5的兩位數的平方等于首位數乘以首位數與1的和作為前積，續寫25為后積。
推廣1：任意兩位數的平方可化為一位數乘以兩位數，再續寫后積。
例：
782=（78+2）（78-2）+52=80×76+4=6084
712=（71+1）（71-1）+12=70×72+1=5041
492=（49+1）（49-1）+12=2400+1=2401
這里要說明的是底數應選較靠近的整十為基數，使計算容易一些。如上面的492的49靠近50，所以選50，而不選492=（49+9）（49-9）+92
同理，712的71靠近70，故712=（71+1）（71-1）+12=5041
推廣2：首位數相同，尾數和為10的兩位數的積，也可仿照尾數是5的兩位數平方的方法進行計算。
例：
〖XC34.JPG;%29%29〗
證明：因為尾數和為零，所以這些尾數分別是1和9、2和8、3和7、4和6、5和5，他們的中位數得5。那么首位相同尾數是5是兩個因數的中數。如13×17，中數是15，98×92
中數是95.我們設這個數為C，中數和這兩個因數的差是±D=±（0，1，2，3，4）;兩個因數分別是C1、C2
〖XC35.JPG;%29%29〗
〖XC36.JPG;%29%29〗
中學數學要求學生們熟記1-100的平方，對于一些忘記或模糊的答案，或求類似上面的兩個因數的積，我們用上面的方法就可很快地找出正確的答案。
用比例解應用題是小學高年級常用到的，到了中學又經常用比例來解相似三角形，大家并不陌生。下面再以勻速運動為例談談比例的應用。
例1：甲乙二人在400米環形跑道上練習長跑，同時從同一起點出發，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，已跑幾圈后，甲可超過乙一圈？
分析：他們所需要的時間是相等的，所以〖SX（〗S乙〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗V甲〖SX）〗
推出〖SX（〗V甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗圈長×圈數甲〖〗圈長×圈數乙〖SX）〗，因為圈長是定長且相等，
所以〖SX（〗S甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗圈數甲〖〗圈數乙〖SX）〗。
解：設乙跑X圈，甲可超過乙一圈，得〖SX（〗X〖〗X+1〖SX）〗=〖SX（〗4〖〗6〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗，
解得X=2
答：略。
這里，圈長不論多少米，總有乙跑2圈，甲可超過乙一圈。
例2：兩船在湖的A、B兩處同時相對而行，距A處5公里時相遇后又繼續前進，分別到達A、B兩處后又即時返回，距B處3公里相遇，問A、B兩處的距離？
分析：因為在湖中行駛，可看是靜水航行，水速為零，又把兩船的航速看作是勻速的，時間也相等，于是〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗V甲×t〖〗V乙×t〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，即第一次相遇所走的路程比等于他們在第二次相遇時所走的路程比。
解：設A、B兩處的距離為X公里，得〖SX（〗5〖〗X-5〖SX）〗=〖SX（〗X+3〖〗2X-3〖SX）〗，解得X=2（X=0舍去）
答：略。
例3：一行軍隊的隊伍長8米，通訊員從排位追到排頭傳達命令后又回到排尾，這時隊伍正好前進了8米，問通訊員走了多少路程？
分析：這道題看乎數字少，比較難解，其實和例2是一樣的，可用〖XC37.JPG;%30%30〗，即通訊員從排尾追到排頭傳達命令所走的路程與隊伍已走的路程比等于通訊員從排頭回到排尾的路程與隊伍繼續前行的路程比，也等于通訊員共走的路程比。
解：設通訊員追到排頭時，隊伍前進了X米，得〖SX（〗X〖〗8+X〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗X〖SX）〗，解得X=4〖KF（〗2〖KF）〗（負數舍去）
通訊員共走了8+2X=8（1+〖KF（〗2〖KF）〗）（米）
答：略。
上面例2、例3亦可用輔助未知數時間t列方程。
例2解法：設A、B兩處的距離為X公里，第一次相遇時用t小時，得
〖SX（〗X+3〖〗〖SX（〗5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗2X-3〖〗〖SX（〗X-5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗
例3解法：設通訊員追到排頭時，隊伍前進了X米，用了t分鐘，列方程得：
〖SX（〗X〖〗〖SX（〗8+X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗〖SX（〗X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗
這兩個方程都除以t就與用比例列的方程相同。
上面三道題的共同點就是勻速前進，其他外力不計。這樣，速度比等于相應的路程比或圈數比，第一時間所走的路程與第二時間所走的路程成正比，可用比例列出等式求解。另外，還可多設一個輔助未知數，這樣列出方程更清晰一些，而這個輔助未知數容易給人一個錯覺，即一個方程兩個未知數，它的解是個不定解。其實這個輔助未知數只起到過渡作用，只要方程兩邊都除以（乘以）這個輔助未知數，方程就變成比例的形式。
用比例解應用題，在中學階段，在我們現實生活中是不可忽略的。
總的來說，生活中的數學是取之不盡，用之不完的。
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