關于全概率公式與貝葉斯公式的教學探討
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【摘 要】概率是《概率論與數理統計》這門課程研究的源頭問題。本文從學生的生活實例中，引出全概率公式和貝葉斯公式，并加以推導，通過引經據典，對學生進行情感教育，收獲了良好的教學效果。
【關鍵詞】概率論與數理統計;全概率公式;貝葉斯公式
中圖分類號： G642;O211-4 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）11-0247-002
DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.11.118
【Abstract】Probability is the the study source of probability and？mathematical？statistics？course.In this paper，the author takes examples from students daily life to lead to the Total Probability Formula and the Bayes Formula.Then，the two formulas are analysed. Combining historical allusions with the formulas，moral education has been taken for students，which has achieved an effective teaching result.
【Key words】Probability and Mathematical Statistics; The total probability formula; The Bayes formula
談論到數學，很多學生認為難學是因為記不住公式，或者說不會運用公式。公式不在于記憶，而在于理解，理解了其中的真諦，自然而然就知道如何使用了。在學生已經有了條件概率的認識基礎上，再來學習全概率公式實際上并不困難。文獻[1]舉了一些學生感興趣的例題加以講解，文獻[2]從五個方面解釋了全概率公式的內涵。然而，對于學生每天的日常生活中的實例研究，以及將概率與歷史典故聯系起來進行教學的文獻還很少。本文從學生的生活實例出發，讓學生對新課內容的學習卸下畏難的心理防線，提高學生的學習興趣，再逐一推導加以運用，再回到生活，讓學生體會到數學及來源于生活，而又服務于生活。并運用數學公式解釋歷史典故，讓學生體會到趣味性，同時對學生進行情感教育。
1 拋出問題
校園之大，為了省時和方便，同學們去教學樓上課也開始選擇不同的交通工具了。已知李明學生去上課，選擇步行，自行車，電動車和校車的概率分別是45%，20%，25%和10%。四種方式出行遲到的概率分別是0.2，0.1，0.05和0.04。請問該同學上課遲到的概率是多少呢？
稍微瀏覽了書本的學生會看到該公式看上去很復雜，根本不知所云，故產生畏難的情緒。以一道與學生日常生活相關的實例，增加學生的好奇心，學生便很想知道一個人上課遲到的概率到底有多大。激發學生的求知興趣，引出本節課的課題——全概率公式。學生便會帶著目的來聽課。
2 剖析問題
在引出全概率公式之前，先了解其有關的預備知A1，A2，A3，A4識，樣本空間劃分的概念。抽象的概念很容易讓學生產生畏難的情緒，先給學生演示一個圖。是樣本空間Ω中的基本事件，滿足兩兩不不相容，且A1∪A2∪A3∪A4=Ω事件B發生的概率為P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）+P（A4B），而由前一節所學的條件概率公式中的乘法公式可知P（AiB）=P（B|Ai）P（Ai），其中i=1，2，3，4.因此，P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（A3）P（A3）+P（B|A4）P（A4）
這是對于將樣本空間Ω分成四個部分的情形，按照這樣的方法可以推廣到四個以上的情況。從簡單的情況出發，避免將一推公式生搬硬套灌輸給學生，在理解了簡單的推導原理之后，再讓學生寫出將樣本空間Ω分成五個部分的公式，隨后讓學生寫出全概率公式的一般形式。
3 解決問題
學習了全概率公式之后，之前的引例便可迎刃而解了。記“學生步行，騎自行車，騎電動車和乘坐校車”分別為事件Ai，i=1，2，3，4。記“學生遲到”為事件B。則
故由全概率公式可得
即學生遲到的概率為0.126j不湊巧，張華同學今天遲到了，請問他是因為選擇了哪一種交通工具呢？由此設問引出接下來要學習的貝葉斯公式（逆概率公式）。
在已知結果的情況下，要尋求發生的原因。只需要將各個原因發生的概率進行對比即可。若事件B已經發生，從圖中可以觀察到，該事件由4個部分組成，分別是A1B，A2B，A3B，A4，B.并且A1B的面積最大，是不是A1這個原因的可能性最大呢？
分別計算
通過比較得出P（A1|B）的值最大，于是張華同學步行去上課的可能性最大。由此得到貝葉斯公式。
設B為樣本空間Ω中的事件，A1，A2，…，An為Ω的一個劃分，且P（B）>0，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），則有
4 歸納問題
學生小組討論得出全概率公式和貝葉斯公式分別如何使用。從引例不難總結出，全概率公式用來“由因求果”，貝葉斯公式用來“執果溯因”，實則是一個百分比問題。學生掌握公式的原理之后，自然也就不會對冗長的公式產生畏懼心理了。
5 應用公式
著名的歷史典故“烽火戲諸侯”，該典故講述的是西周時周幽王，為褒姒一笑，點燃了烽火臺，戲弄了諸侯。褒姒看了果然哈哈大笑。幽王很高興，因而又多次點燃烽火。后來諸侯們都不相信了，也就漸漸不來了。后來犬戎攻破鎬京，殺死周幽王，后來周幽王的兒子周平王即位，開始了東周時期。 引導學生用數學知識來解釋周幽王是如何失去諸侯們的信任。假設周幽王第一次點燃烽火有無敵國來犯的概率均為0.5，周幽王撒謊時，真有戰事的概率為0.15，他說真話是，真有戰事的概率為0.9。試解釋周幽王是如何失去諸侯信任的。
記事件Ai表示周幽王第i次點燃烽火，無戰事，事件B表示周幽王第i次說謊，i=1，2。由題意可知，P（B1）=P（B1）=0.5，P（A1|B1）=0.15，P（A1|B1）=0.85，P（A1|B1）=0.9，P（A1|B1）=0.1。
諸侯第一次受騙的概率P（A1）=P（B1）P（A1|B1）+P（B1）P（A1|B1）
=0.5×0.85+0.5×0.1=0.475
諸侯第一次受騙后，周幽王說謊的概率
諸侯第二次受騙的概率P（A2）=P（B2）P（A2|B2）+P（B2）P（A2|B2）
諸侯第二次受騙后，周幽王說謊的概率
當諸侯兩次上當后，在他們心中，周幽王謊稱戰事的概率達到0.9863，此后，被騙的諸侯只會越來越少，直到真有戰事時，諸侯看到烽火也無動于衷。類似的例子還有“狼來了”等，通過概率計算，給學生進行誠信教育。告誡學生不要成為周幽王那樣失去信任的人。
6 結束語
事實上，很多的歷史故事都蘊含著數學知識，作為教師，要有一雙慧眼，挖掘出其中的數學理念。在《概率論與數理統計》的教學中，既傳播了中國的傳統文化，又讓學生輕松地學到了數學知識。同時，平常多跟學生接觸，善于發現學生日常生活中的有意思的例子，設計成例題，可以大大增加課堂的趣味性。真正做到教師寓教于樂，學生寓學于樂。
【參考文獻】
[1]周游.趣味生動化的全概率公式教學設計研究[J].赤峰學院學報（自然科學版）2017，33（4）：219-221.
[2]王鵬飛.全概率公式的教學研究[J].忻州師范學院學報，2018，34（2）：11-13.
[3]韓旭里，謝永欽.概率論與數理統計[M].北京大學出版社，2018.7.
[4]茆詩松，程依明，濮曉龍.高校概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社，2004.7.作者簡介：郭琴（1989.10—），女，漢族，湖南湘潭人，碩士研究生，邵陽學院理學院，研究學科或方向為大學數學教育和分數階發展方程的研究。
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