對反證法的初步認識
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【摘 要】反證法是數學中的重要證明方法。反證法盡管不如直接法普遍，但反證法在一些數學命題的證明中往往能起到直接法所起不到的作用，不少數學命題的證明當使用直接證法比較麻煩或比較困難甚至不可能時，如能恰當使用反證法，就可以化繁為簡，化難為易，化不能為可能。下面我將敘述什么是反證法，反證法的論證形式，反證法的使用場合及如何想到用反證法，還提及了反證法使用的注意事項以及舉一些使用反證法的例子。
【關鍵詞】反證法定義；論證形式；適用場合；注意事項
【中圖分類號】G421 【文獻標識碼】A
【文章編號】2095-3089（2019）12-0262-01
前言
公元前六世紀數學中就引入了數學證明思想，到公元前三世紀，歐幾里得將數學證明思想得到了推廣。《幾何原本》里就出現了歸謬法，也就是反證法。而我國古代，也出現了這樣的一個例子。相傳晉初竹林七賢之一王戎小時候與玩伴玩累了看到道路兩旁的李子樹上掛滿了例子，其他孩子都競相爬上樹摘李子或者撿地上散落的李子，只有王戎在一旁無動于衷。別人問：為何你不去摘李子呢？王戎說道：這棵李子樹長在路旁而樹上依然掛滿了李子。如果李子不苦，早就被人摘光了?，F在李子沒人動，說明李子一定是苦的。其他孩子半信半疑地嘗了一口，真的是太苦澀了。
其實王戎就已經在生活中運用到了反證法的思想。為了證明李子苦，先假設李子不苦，則李子早就被摘光，與如今滿樹的李子沒人摘矛盾，從而說明了李子是苦的。
反證法的思想在生活上很多地方都要滲透運用，包括一些案件的偵破都會用到反證法，動漫《名偵探柯南》里面就運用到很多，反證法也幫助我們偵破了很多現實生活中的案件。反證法不僅在數學上得到應用，在其他學科也有所應用，甚至是文科。
反證法不僅是初等數學里常用必需的方法，也是高等數學里面重要的思想方法。教師應該在初一就開始滲透，初二初三不斷加強，高中階段鞏固，大學時候再有所拔高。
一、反證法的定義
先假定命題中結論的反面成立，推出和命題中的假設、或以前學過的定義、公理、定理、或已知的事實、或臨時的假定等相矛盾的結果，從而斷定命題結論的反面不可能成立，從而斷定命題中的結論成立，這種證明方法叫做反證法。也稱作是歸謬法。
反證法實質上是證明原命題的逆否命題。
數學中的一些命題只能用反證法來證明，反證法對學生的要求很高，需要思維開闊，推理嚴密。一般來說，反證法證明命題有三個步驟：①反設：否定結論，假設結論的反面成立；②歸謬：從反設和題設出發，進行嚴密推理，導出矛盾；③存真：有矛盾得出原命題成立。
反證法相對于平常的直接證明的方法來講，是一種間接的證明方法。非常考驗學生的邏輯推理能力，要用與平常相反的思路去推理，層層推進，環環相扣。
二、反證法的論證形式
1.使用反證法的命題的類型有兩類。
?。?）第一類是證明命題A為真，A的表現形式如“什么是什么”“什么不是什么”“什么可能怎樣”“什么不可能怎樣”；
?。?）第二類是證明“若p則q”為真。
2.根據產生矛盾的不同情況反證法分為七種論證形式。
?。?）根據命題A的反面出發，推出和定義、公理、定理、或已知的事實相矛盾的結論。
?。?）從命題A的反面出發，推出自相矛盾的結論。
?。?）從命題A的反面出發，推出和反設相矛盾的結論。
?。?）從命題“若p則q”的結論的反面出發，推出和命題題設相矛盾的結論。
?。?）把命題“若p1與p2則q”的結論的反面加入到命題的部分假設中，推出和命題另一部分題設相矛盾的結論。
（6）把命題“若p則q”的結論的反面加入到命題的部分假設中，推出和反設相矛盾的結論。
（7）把命題“若p則q”的結論的反面加入到命題的部分假設中，推出和定義、公理、定理、或已知的事實相矛盾的結論或自相矛盾的結論。
三、反證法的使用場合，常適合用反證法的命題
1.否定式命題，形如“不……”、“沒有……”、“不是……”、“不可能……”。因為數學中的定義定理都是肯定形式的，因此用來證明否定的反面比較方便易奏效。
例1：證明sinn 不收斂。
證明：假如sin n 收斂，令limn→∞sinn=a，則令limn→∞[sin（n+2）-sinn]=0。又sin（n+2）-sinn=2cos（n+1）sin1，故limn→∞（n+1）=0。另外cos（n+1）=cosncos1-sinnsin1，從而limn→∞sinn=0，這與sin2n+cos2n=1矛盾。
例2：證明y=cosx不是周期函數
證明：假設y=cosx是周期函數，則T>0，x≥0都有cosx=cosx+T。特別地，取x=1，則cos1=cosx+T，則1+T=1+2kπ，則T=4k2π2+4kπ。又取x=0，則cos0=1=cosT，則T=4k2π2。所以可得4k2π2+4kπ=4k2π2，即π=kn2-k2為有理數，矛盾！
例3：一個有理數等于它的絕對值，那么這個數是非負數。
證明：假設這個數是負數，則它的絕對值就是它的相反數，是一個正數，則這個數的絕對值不等于這個數本身，與已知條件矛盾。所以這個數是非負數。
2.“至多”與“至少”命題，形如“至多……”、“至少……”、“最多……”、“最少……”、“不多于……”、“不少于……”等
例4：已知f（x）=x2+ax+b，求證|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于12。
證明：假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于12，則|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|<12+2·12+12=2。另一方面，因為f（1）=1+a+b，f（2）=4+2a+b，f（3）=9+3a+b，則f（1）-2f（2）+f（3）=2， 從而2=|f（1）-2f（2）+f（3）|≤|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|，矛盾！
3.“存在性”與“唯一性”命題。
例5：兩直線相交，只有一個交點。
證明：假設直線a和直線b至少有兩個交點。設這兩交點為A和B。那么直線a和b都經過這兩點，即經過點A和點B可以作兩條直線a和b。這與公理“經過兩點有且只有一條直線”矛盾。從而假設不成立，則原命題成立。
例6：不存在關于x的多項式f（x）和關于y的多項式g（y），使得他它們的乘積f（x）g（y）等于多項式x1980y1980+1
證明：假設存在這樣的兩個多項式f（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an g（y）=b0ym+b1ym-1+b2ym-2+…+bm ，使得f（x）g（y）=x1980y1980+1 （1）。
令x=0，則f（0）=an。代入（1）得f（0）g（y）=1。此式對任意y都成立，于是g（y）=1f（0）=1an。同樣，令y=0，則g（0）=bm。代入（1）得f（x）g（0）=1。此式對任意x都成立，于是f（x）=1g（0）=1bm。下面令x=y=0，則f（0）g（0）=1，即anbm=1。由于對任何x，y都有f（x）=1bm ，g（y）=1an，所以f（x）g（y）=1anbm=1。這就是說，f（x）與g（y）的積恒等于1，然而，x1980y1980+1并不是對所有的x，y都等于1，這就得出了矛盾，所以x1980y1980+1不能表成f（x）g（y）的形式。
4.“都是”、“不都是”“都不是”與“任何”命題。
例7：a，b，c是實數，且滿足a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證a、b、c都大于0.
證明：假設a<0，∵abc>0，∴bc<0. 又ab+bc+ca>0，∴ab+ca>0，a（b+c）>0。故（b+c）<0。又從a<0及a+b+c>0得（b+c）>0，矛盾！故a<0不成立。同理可證得b<0，c<0也不成立。另一方面，我們由abc>0又可得a，b，c皆不等于0.所以a，b，c都大于0。
例8：已知a和b都是正有理數，而a和b都是無理數，證明a+b也是無理數。
證明：假設a+b為有理數，因為a+b≠0則a-b=a-ba+b①。
因為有理數四則乘法運算是封閉的，所以由①可知a-b也是有理數。
則（a+b）+（a-b）=2a為有理數，從而a為有理數。與已知條件
矛盾。因此a+b也是無理數。
四、什么時候想到用反證法
在什么情況下用反證法，這是學生最大的疑惑。同時如果假設出問題的否定形式，在一些問題中也是難點。
當對一道證明的命題毫無頭緒時候，就應想到嘗試用反證法。嘗試從正面證明相當的困難，怎么也走不下去的時候，或需要運用到的知識點是我們根本沒有學到的，此時不妨想一下用反證法可能有意想不到的效果。
當往證的命題是前面3介紹的形式的話往往應該想到反證法，因為這涉及“反證假設的設定是有得到的結論的否命題”， 因為數學中的定義定理都是肯定形式的。例題中出現“沒有”“只有”“不存在”這種唯一性、存在性的問題?；蛘呤恰安弧薄皼]有……”“不是……”“不可能……”“不都是”“都不是”這種否定式命題。或者是“至少有一個”“至多”“都是”、“任何”這些形式的命題。
五、使用反證法應注意
在運用反證法時候一定要明確自己要證明的是什么，關鍵要圍繞原命題進行驗證。并且要確保對定理公理掌握十分到位且能夠靈活應用，才能使用好反證法。否則掌握理解不夠深刻的話，容易讓解題變得更復雜，無法得出證明。
不要濫用反證法，對于一個數學命題，如果能用直接證明法且比較簡單，就要盡量用直接法，不要濫用反證法，反證法不是萬能的。
要做出正確的反設，注意是所有結論的否定，必須一一做出反設，并在后面的推理論證中一一加以否定。
正確寫出理論說法后，往往看不到矛盾點，有認真觀察，大膽嘗試把反證假設作為條件盡量往各個角度各個方向延伸，直至到矛盾點。
寫出反面假設后，要注意有時候可用特別情況開證明，如特別地，去x=1，x=0，如上面例題證明y=cosx不是周期函數。
參考文獻
[1]唐德論.反證法及其應用.湖南教育出版社出版.
[2]王連笑.反證法漫談.天津人民出版社.
[3]朱華偉，錢展望.走進教育數學數學解題策略.科學出版社.
[4]李丹丹.反證法在中學教學中的應用[M].哈爾濱職業技術學院學報，2013.
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