淺談集合思想在中職數學教學中的應用
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[摘 要] 很早之前，人類就學會把同一屬性的事物或對象放在一起，作為討論的元素，繼而把一定程度抽象了的對象放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。集合作為系統性的知識是在高中才有了明確的定義，但作為知識系統其實在初中數學課本中就出現過，如：自然數的集合、有理數的集合、不等式解的集合等，那時學生并不清楚“集合”的概念。高中數學新教材里很重視“集合”概念，包括中職數學教材也是一樣，都放在了第一章，可見其地位非同一般。集合思想是現代數學思想的一個重要標志，其符合近代數學發展的規律。可以說，集合思想是整個數學教學的基礎，其本質是“分類”“求同辨異”，而“分類思想”是重要的數學思想，可以使復雜的數學問題化繁為簡、化難為易，它不但是一種思想，更是一種工具，一種語言。
[關 鍵 詞] 集合思想;中職數學;邏輯用語;不等式;函數
[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2019）11-0224-02
一、集合的重要性
集合是數學的一個基本分支學科，在數學領域中占有獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。集合論的創始人是德國的數學家康托，瑞士數學家歐拉最早使用了表示兩個非空集之間關系的圖，即“歐拉圖”，英國數學家維恩最早使用了另一種圖即可以用于表示任意的幾個集合——“維恩圖”?？梢哉f，幾乎現代數學各分支的所有成果都構筑在嚴格的集合理論上。在研究數學應用時，用圖示法會使問題更明顯直觀，在中職數學的教學過程中，也許我們并沒有向學生多作集合思想的解釋，基本不提集合的重要性，但卻多次強調集合圖的重要性。其目的就是能指導學生看懂集合圖的意思，根據集合圖來解題或者幫助解題。將集合的作用放在實處，真正處理問題，也是現在數學學習的方向，特別對中職學生而言，更立體、更具操作性的題，才能使其更感興趣。體會數學的實際應用性，感受數學的魅力，將理論與實踐有效結合，也是中職數學教育的目標之一。
集合知識覆蓋面是比較廣泛的，可以說涵蓋了中職數學中不等式、函數、數列和幾何等知識的基礎部分，因此集合知識的相關題目也是中職類學生在高考數學試卷上必定會出現的問題。打好集合的基礎，讓學生做題能“分門別類”，從而學會少做題、做精題，這也許就是最現實的一個應用了吧。但在實際的教學過程中，由于中職生的計算能力特別是一元二次方程等有關問題的解決能力較弱，剛開始學“集合的概念”時，涉及計算的不多，加上學生換了一個新的環境等各方面的因素，學習的興趣會有一段時間的提升，當他們發現自己能看懂圖示法，做一些簡單的集合題，無形中便增加了學習的興趣。但學過概念后，集合的知識就變得抽象、難懂，特別是與別的知識結合在一起，從而變得不好掌握。而且，由于中職數學的學習思想和學習方法與初中相比有很大的差異，包括學習時間、重視程度等各方面都有所不同，因此要把握好集合的興趣，并應用于整個中職數學教學的過程中就顯得任重而道遠。
理清集合與中職數學教學之間的聯系，對知識的系統性有一個更全面的了解，讓學生的數學學習更具長久性，就需要來看看集合與中職數學教學之間的關系到底包含了幾個方面，相互之間的聯系與區別又是如何的。
二、集合與中職數學教學之間的關系
（一）集合與邏輯用語
集合與常用邏輯用語是高中數學的重要基礎知識，是高考的必考內容。學習常用邏輯用語知識，主要是為了培養學生進行簡單推理的技能，發展學生的思維能力，提高使用數學符號、數學語言、數學方法進行推理判斷的能力，要注意避免對邏輯用語的機械記憶和抽象解釋。從知識上來看，集合間的運算有交集、并集、補集，了解命題的概念和命題的構成，掌握簡單邏輯連接詞“且”“或”“非”的含義。在實際做題時要能判斷簡單命題與復合命題的真假，這就需要注意知識宜從簡，要從最基礎入手，特別是命題的構成不能太多，否則作繭自縛。而良好的邏輯用語，則更有利于解決問題。
如何更好地保持學習的興趣和激情，是每個教師的不懈追求，更是數學教師的最高目標。雖然我們身在中職學校，但面對知識系統掌握并不特別牢固的中職學生，渴望成長，渴望學習的心是一樣的，一樣希望學生學有所獲。這就需要數學教師面對提出的問題，要迎難而上，勇敢地面對教學中遇到的各類問題，迎接巨大的挑戰。如果能有效地把握集合與數學教學之間的關系，就能更好地保持學習激情，將邏輯思維用在實處，將會更有助于問題的解決。
集合在中職考試中的高考題型基本都是選擇題、填空題，一般難度不大，但有時候在填空題中會以創新題型出現，難度稍高。因此在做題的過程中，能用圖形語言、符號語言的盡量用這些語言，特別是圖形語言，更直觀、明確。可以說，數軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具，將邏輯用語與集合語言結合在一起，可以使教學內容簡潔、準確，幫助學生用集合語言描述數學對象，用邏輯思維進行分析，將集合與邏輯放在一起，發展培養學生運用數學語言進行交流的能力。也可以說，在教學的過程中如何運用集合與邏輯用語這一對關系最為密切的朋友，使教師能輕松教，學生能輕松學，是值得深思的問題。一般遇到集合邏輯題，解題思路基本可以用數形結合法，常用的解題步驟可以分為（1）畫圖形;（2）定區域;（3）求結果。
（二）集合與不等式、函數
函數是中職生在學習數學過程中的遇到的一個比較困難的知識點。因為函數與不等式甚至與方程之間都是緊緊相連的。單從求解的結果來看，不等式的解集從函數的角度上理解，就是圖像在橫軸的上方或下方，而方程就是與橫坐標交點的位置。在集合運算與不等式的聯系問題中包括兩類：一是不含參數問題直接求解;二是含參數問題，往往是等價轉換集合的表示或化簡集合，然后依據數形結合進行分類討論。因此，可以說函數、不等式與方程之間是緊緊相依，相輔相成，它們之間渾然一體，利用函數圖形中形成一個整體，也可以認為構成另一個體系——函數體。 可以說，函數是高中數學的核心概念，描述了自然界中量的依存關系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規律。函數思想的實質是剔除問題的非數學特征，用聯系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系。特別是從現在高考的角度來看，比較注重實際的應用型的題，而函數就是不少現實問題的反映。有很多學生遇到函數題就覺得頭痛，特別是有時那種變化關系找半天都沒理清頭緒。如果在函數體中用集合求同思想，即函數都可以用圖像來描述其性質特征，如三角函數類問題，都具有一定的周期性，每個變化規律都在一個周期內進行，然后重復出現在下個周期內。因此，研究時只需關注一個周期即可，無論怎樣變化，都根據圖形來研究它的性質，只要了解其一個周期內的變化規律就可以了;又如指數函數、對數函數從圖形中就能看出其聯系與區別，掌握基本的圖形，找出相同點和區別點，從而了解其性質特點，從容應對函數的各種變化情況。
現在的數學學習對中職生的要求越來越具體，也非常注重學生的數學思維能力，特別是求解函數類問題的能力。因此，函數類題型最常出現。函數的思維模式特別能在實際問題中體現，如打車問題、手機流量問題等，都可以用函數的形式進行求解。用集合求同辨異思維，把函數的實際應用與函數的具體求解放在一起，對函數而言，其本身的表示法就有圖像法、方程法，把圖像與方程結合在一起，能更有效地解決問題。按其性質進行分類，結合數形，一般都可以從圖像上得到解決。
（三）集合與幾何
幾何對空間思維能力的培養具有重要作用，也是數學教學中一塊重大內容，一眼看幾何與集合似乎沒有什么聯系，屬于不同的兩塊內容。但縱觀幾何與集合的發展史，我們發現其實從幾何學和集合論公理的產生起它們就有聯系了。我們知道在幾何學與集合論中首先要涉及的就是公理，而公理在幾何學中稱之為平行公理，在集合論中則謂之選擇公理。兩者也是在相互懷疑否定之中成長、完善起來的。在平行公理與選擇公理的分析中更是相互地滲透，可以說你中有我，我中有你。在發展的過程中，特別是在非歐幾何學與非康托幾何論中，兩者的關系更進一步，都不約而同為解決悖論問題而形成。
幾何主要有平面解析幾何與立體幾何兩大部分內容，平面解析幾何從直線、圓、橢圓、雙曲線到拋物線，立體幾何從空間的直線與平面的位置、角度關系到多面體、棱柱、棱錐等。幾何是客觀世界中平面及立體的圖形，說到底也就是點、線、面之間的關系，線與面是點的集合。也許正是幾何論理論體系已經比較完善，點與線、面，平面與幾何之間的關系比較完整，各類成功的安全也是不勝枚舉，因此在關注幾何與集合的關系時，我們往往看不到集合的存在，忽略了集合在求解過程中的作用。其實通過實例，我們還是可以找到很多的相似點，如在直線的點向式、點斜式求解過程中，我們能發現它們的相似處，可以用集合的求同思想把它們放在一起。另外，也可以知道，幾個點可以確定一個平面，點與線的關系，甚至由點線來確定一個面，相互之間求同存異，這樣可以使問題更簡單。集合與幾何兩者的關系也許有點微妙，它不顯山露水，卻海納百川。
人類為了生存在進行不斷的探索，在探索的過程中積累了各種知識，將知識按需要、類別進行分類，經過漫長的年代才有了現在的各大科。各科之間又有千絲萬縷的聯系，只要有一個學科發展積累到一定程度要變革，沒過多久就會對別的學科產生影響。它們之間就是這樣相互牽制、相互發展，可以說沒有一門學科是孤立的。而這就是集合最樸素的思想——求同存異，在發展中相互促進，共同成長，形成更進一步的發展狀態。
集合思想不僅適合于數學教育，更是別的學科的研究工具。大道至簡，“求同存異”歸納分析，在解題的過程中，如果能將至簡的理念運用到實處，將對中職學生的數學學習興趣有很大的幫助。跳出數學高冷的面孔，由內心接受這門實用的學科，必將使學生受益終生。也許我們一直在說，沒有磚瓦無以成大廈，但大廈至簡就是磚瓦，要想使學生的興趣保持下去，由繁返簡很有必要，也許這樣才能真正從簡而繁，錦上添花。
參考文獻：
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編輯 李 靜
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