巧借幾何直觀 妙建數學模型
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【摘 要】模型思想是義務教育數學課程標準（2011年版）新增的核心概念之一，數學模型思想是一種基本的數學思想。構建數學模型是一個綜合性的過程，是從學生已有生活經驗出發，將實際問題抽象并進行解釋與運用的過程。幾何直觀能有效地利用圖形描述和分析問題，把復雜的問題變得形象直觀，它有助于探索解決問題的思路，幫助學生直觀地理解數學，建立數學模型，提升學生數學素養。
【關鍵詞】小學數學；幾何直觀；數學模型
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0191-02
1 借助幾何直觀創造問題情境
筆者在聆聽全國著名特級教師吳正憲的課《商的變化規律》時，真正領略到大師的教學藝術，使心靈再一次感到震撼。那些枯燥的數字、定律在大師的教學中卻充滿童趣和挑戰，閃爍著兒童的靈性。筆者在聆聽大師的每一句話時，就在想大師究竟用什么法寶把函數的種子深深地埋在兒童的心中的呢？細細斟酌，幾何直觀在教學中起到舉足輕重的作用，尤其是理解題意中。在探究新知中，大師先出示一幅圖，這是一個正比例函數的不完整圖象，橫軸表示支數，縱軸表示總價。網格圖上有可以連成直線的幾個點，這個圖講了一個怎樣的故事呢？一改以往總是先出示文字的應用題，這種充分利用幾何直觀的思想來激發學生學習興趣又能有效滲透函數思想的做法實屬教學之妙筆，能編出什么故事呢？在大師的引導下，一個充滿智慧的數學問題出現，學生利用圖形說故事，又利用圖形解故事，以圖說數，用數解圖，淋漓盡致地理解題意。吳老師巧妙地借助幾何直觀，創設問題情境，為模型的建立開辟了有效的途徑。
2 借助幾何直觀提出數學問題
在小學數學教學中，培養學生的問題意識是數學核心素養的重要體現。構建數學模型是學生從已有生活經驗出發，將實際問題抽象并進行解釋與運用的過程。由此可見，培養小學生的問題意識，使學生能從數學的角度提出問題是建模的前提。在《商的變化規律》這節課中，吳老師借助有趣的情境圖，創設猴子分桃的情境，引導學生提出數學問題。當學生興趣盎然地聽完猴子分桃的故事后，都笑了，吳老師便面帶微笑地對學生說：“笑聲之后，同學們要有思考，同學生們為什么笑呢？”“猴王為什么聰明？”“猴王用什么東西把小猴給騙了？”“商要不變，被除數和除數要怎么變？”這一系列問題，有效地激發學生的探究欲望。在新知探究中，學生借助圖形，用總價除以相對應的數量求出單價，發現單價總是不變的。學生列出如下算式：10÷2=5，20÷4=5 30÷6=5，40÷8=5。吳老師又引導學生觀察算式，并提出問題：“你們又發現什么？”學生答到：“商不變，被除數和除數變了?！贝藭r吳老師又風趣幽默地說：“都發現了，那么咱們還要研究什么呢？”此時學生又充滿疑惑地看著老師，又看看黑板上的算式，一系列問題油然而生：為什么被除數、除數變了，商不變？為什么被除數、除數要一起變？它們之間有什么關系？怎么才能使商不變？為什么被除數加10，除數加2，商會不變？為什么說商變化規律，而不說商不變規律呢？整個教學過程，吳老師都充分利用幾何直觀，引導學生發現問題，提出問題，分析問題，解決問題。為模型的建立產生了非常重要的作用。
3 借助幾何直觀建立數學模型
吳老師這節課就是一個標榜的建模課，她向我們展示了有效而生動的建模過程。從情境的創設—問題的形成—模型的建立，整個過程顯得那么自然，那么生動，那么有趣，那么有效。一切皆在吳老師的駕馭中，學生又顯得生氣勃勃，富有個性。吳老師先讓學生舉例，在自己所舉的例子中畫圖，觀察，比較，找彼此間的關系，并在小組內交流，在全班交流時，吳老師讓學生充分展示學生的例子，并質疑學生：“還能寫嗎？”“寫到下課寫得完嗎？”“有共同規律嗎？”“寫出你的發現?！贝藭r，學生嘗試用自己的語言表達商的變化規律，學生探究情緒高漲，在小組內積極交流，都能暢所欲言，吳老師彎腰傾聽，耐心輔導，并巧妙地搜集學生的討論結果，所搜集的內容層層遞進。學生的每一個個性化的回答，每一次精彩的生成，在吳老師的駕馭下，都是寶貴的資源，她運籌帷幄，展示了學生的四個代表性的結論。第一，被除數變了，除數也變了，商不變。這是一個最膚淺的結論。第二，50÷10=5，500÷100=5商不變，這是一個特殊的例子，不是一般性的結論。第三，被除數乘10，除數乘10，商不變。這個結論比第二個結論范圍更廣，不過乘10還是具有特殊性。最后結論：被除數乘幾，除數也乘幾，商不變這個一般性結論。細細分析吳老師搜集的這些結論，不難看出吳老師的別具匠心，看出吳老師教學的精湛藝術。
4 借助幾何直觀解釋模型
數學模型的解釋與應用是建模過程的不可缺少的一個重要環節，通過解釋與應用，一方面學生再次驗證了模型的科學性，另一方面也讓學生進一步理解并鞏固數學模型。同時開拓學生思維，使學生學會觸類旁通，并會舉一反三，避免學生思維被某一個固定的模式所約束，從而培養學生思維的靈活性，思維的廣闊性和思維的深刻性，提升學生思維品質，培養學生數學素養。當學生建立起商的變化規律模型后，吳老師又引導學生舉例驗證，學生在畫圖中、在驗證中質疑，進一步培養學生的問題意識和應用意識，培養學生的質疑能力和應用能力。吳老師問學生：“我們發現的商不變的規律適合所有的除法算式嗎？”一句激起千層浪，學生在充滿懷疑和挑戰中，從不同的角度驗證發現的規律，他們試圖推翻模型的準確性，但又久久不能，屢屢不成。最后只能心悅誠服。于是，商不變規律這個數學模型牢固地建立起來。接著，吳老師又引導學生回頭看，對比猴王分桃，每只猴子分到的數目一樣，買鉛筆中，每支鉛筆的單價一定，通過圖形、文字、算式的比較，進一步夯實了商的變化規律。學生在回顧發現規律的過程中，獲得探索規律的一般方法，體會數學建模的過程，積累學習經驗。更可貴的一點是：吳老師又出示了一幅坐標圖，上面出現能描成一條直線的若干個點，縱軸和橫軸均沒有單位，吳老師又啟迪學生：“你能看著這幅圖講一個商不變的故事嗎？”吳老師又一次利用不完整的正比例函數的圖象引導學生豐富商不變規律，學生的思維在幾何直觀中海闊天空地馳騁。
吳老師上的《商不變規律》是一節非常成功的建模課。整個教學過程，都能充分借助幾何直觀，循序漸進地引導學生提出問題，分析問題，在分析問題中步步設疑，層層釋疑，正像她說的“聊著聊著，那些數學概念、數學規律就出來了，數學模型也就建立了?！眳抢蠋熈牡媚敲醋匀唬玟镐父事堵虧檶W生的心田，學生也在聊著聊著中自主地建立起商不變規律這個數學模型。一切是那么舒坦，這就是教學藝術，整節課都在靜靜流淌著這種藝術魅力，就連聽課的老師也陶醉其中，難怪在下課時，學生是那么的不舍，師生彼此都被這種教學藝術感染下難舍難分。
教育教學藝術的境界是無窮無盡的，如果每一個教育教學工作者都能去感受這種藝術，去研究這種藝術，那么，教師便會感到數學教學是那么有趣，那么富有生
命力。
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