一道有爭議的排列組合題的調查分析和教學啟示
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摘要：作為一位數學教師，也應該要有數學家的基本思維方式。數學是一門公理化體系下的學科，許多問題應該在定義，定理，公理的基礎上思考研究，而不是盲目的用經驗主義處理。教學中，對于學生的提問，我們經常會做出這樣的回答：“你那樣是錯的，按老師的方法來?！痹趯W生不滿意這樣的回答時，我們還會怪罪這個學生不聽話，不按照教師要求做。其實，如果我們能從書本上的定義、定理、基本概念出發，給學生解釋清楚來龍去脈，讓他心服口服，不僅僅能解決他的疑問，更是另一種形式的數學教育，甚至說，這才是作為數學教師真正應該教會學生的東西。
關鍵詞：爭議;調查分析;教學啟示
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2019）01-0101
一、問題起源
在高三一輪復習的一次聽課中，有這樣一道小題：小明有3雙顏色相近的襪子（不分左右腳）。某天早晨，由于貪睡造成晚起，為了防止上學遲到，小明隨手從這3雙顏色相近的襪子中抓起兩只襪子套在腳上，拔腿就走。則小明穿的不是同一雙襪子的可能性有幾種（ ）。
A. 22 B. 24 C. 28 D. 30
上課教師給出的參考答案是：因隨手抓，故每只襪子等可能被取到。完成穿好一雙不同色襪子這件事情，先從3雙襪子中選一雙，選一支套在左腳上，有C31×C21=6種不同的選法;再從剩余的兩雙襪子中選一雙，選一支套在右腳上，有C21×C21=4種不同的選法，由分步乘法計數原理可知，N=6×4=24種，故選B。
課堂上一位男生提出異議：因為題目中說不分左右腳，故小明穿的不是同一雙襪子的可能性只有N=A32=6，用A，B，C表示襪子的3種顏色，用（x，y）表示左腳穿x，右腳穿y襪子，列舉出來便是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）。上課教師很機智說：這位同學很有想法，敢于質疑，敢于思辨，這樣思考也很有道理，這個問題我們課外再討論下，統一答復。
二、問卷調查
這是一道高三的一輪復習題，此時筆者正在教高二，于是想若將這道題改成填空題并讓已學過計數原理、排列組合及概率的高二學生做又會怎樣呢？是否也產生與高三學生類似的情況？因此，筆者就對高二年級程度相對較好的一個學軍班和三個重點班進行了問卷測試，四個班共計173人，其中男生85人，女生88人，問卷在課堂上當場完成，并全部有效收回。
三、調查結果
對測試結果按性別，分層進行了描述性的數據統計，表中數據表示相應的人數，“其他”是指有別于這兩個答案的各種答案，如下表所示：
從表中可以發現改成填空題后，答案為6的學生更多了。共有82名學生的答案為24，占了約47.4%，60名學生的答案為6，占了約34.7%，31名學生的答案為“其他”，占了約17.9%.這一測試結果與在高三聽課過程中呈現出來的問題是一致的。
四、分析與討論
這是一道計數題，高二、高三學生做的結果也完全類似，且還引起了教師的爭議，那么該如何分析這道題呢？筆者以為可以從下面幾個方面來分析討論。
1. 從一道由該題引申的古典概型題說起
（1）從古典概型的定義上分析
人教版《數學3》中對古典概型定義的描述是具有兩個特點的概率模型：（1）試驗中基本事件的有限性。（2）基本事件發生的等可能性。因此古典概型首先要弄清楚樣本空間，它必須要滿足以上兩個特點。這道引申題第一個特點顯然滿足，問題就出在第二個特點上，解2以為樣本空間只有9種基本事件，但這9種是等可能嗎？我們標記A1A2，B1B2，C1C2表示3雙不分左右腳的襪子AA、BB、CC，用（x，y）表示左腳穿x，右腳穿y襪子，比如（A，B）來自于AA、BB兩雙襪子，可造成（A，B）的卻有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）4種等可能結果，兩只不分左右腳的襪子AA套在腳上造成（A1，A2），（A2，A1）有2種等可能結果，造成（B，B）和（C，C）的也有2種等可能結果.故我們看到的結果（A，A），（A，B），（A，C），（B，B），（B，A），（B，C），（C，C），（C，A），（C，B）不等可能，（A，A），（B，B），（C，C）只有2種可能，而（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）卻有4種可能，故解2是錯誤的。
（2）錯誤原因分析
導致錯解的表面原因是對樣本空間的錯誤認識，但產生這種錯誤的深層原因是混淆了兩只相同襪子有選擇和無選擇的區別，比如（A，B）中的A和B是有選擇的，來自于A1A2，B1B2，兩雙襪子，可造成（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）4種等可能結果。再深究將有選擇視作無選擇的本質原因是沒有理解透古典概型的定義，尤其是古典概型的第二個特點。
2. 回歸原題
我們標記A1A2，B1B2，C1C2表示3雙不分左右腳的襪子AA、BB、CC，用（x，y）表示左腳穿x，右腳穿y襪子。由以上分析，造成（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）的各有4種等可能結果，從而小明穿的不是同一雙襪子的可能性有6×4=24種，即教師給出的參考答案已經是對的了。
五、教學啟示
1. 充分利用好教材，而不是簡單的教教材
（2）日常教學中的一些思考
第一，很多數學問題應該在定義，公理、定理的基礎上思考研究，而不是盲目的用經驗主義處理，作為一名數學教師，也應該要有數學家的基本思維方式。第二，教學中，對于學生提出的問題，我們應該從書本上的定義、定理，基本概念出發，給學生解釋清楚來龍去脈，讓他心服口服，不僅僅能解決他的疑問，更是另一種形式的數學教育，甚至說，這才是作為數學教師真正應該教會學生的東西。第三，作為數學教師，在一些數學問題上存在不一樣的見解和看法，合情合理，但是理性的討論也是應該的，筆者希望這樣的討論在我們平時的教學中再多一些。
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