知其然，更要知其所以然

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　　【摘要】在北師大版教材中，有很多內容需要用表格來解決問題。這些表格有些是書本上本來就有的，有些是老師為了幫助學生問題解決而自行設計的。隨著對新課標理念理解的深入，筆者發現老師用表格解決問題的過程中存在各種各樣的問題：只關注表格的填寫，忽視對表格的理解，只關注表格的應用，忽視對表格的體驗，過分強調表格，忽略甚至否定其它方式，影響了利用表格解決問題的有效性。本文旨在通過具體的教學案例對存在問題進行分析，同時提出解決的辦法，以提高利用表格解決問題的有效性。
　　【關鍵詞】列表格；內涵；必要性；優越性
　　“獲得分析問題與解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣的多樣性，發展創新意識”是《數學課程標準（2011年版）》確定的課程目標之一。為了有效落實這一目標，北師大版教版教材在第一學段與第二學段均在解決問題的策略方面安排了相應的內容，讓學生掌握畫圖、列表、嘗試與猜測、從特例中尋找規律等解決問題的策略，這些內容成為北師大版教版教材的一個亮點。在用表格解決問題的課堂中使用的表格有些是書本上本來就有的，有些是老師為了幫助學生問題解決而自行設計的。隨著對新課標理念的理解的深入，筆者發現了老師在用表格解決問題的課堂中存在各種各樣的問題，影響了利用表格解決問題的有效性。主要存在的問題包括以下三點，下面筆者結合具體的教學片段進行說明。
　　一、只關注表格的填寫，忽視對表格的理解
　　教學片段一：《長方體的體積》
　?。ㄕn件演示：長、寬、高分別都有一個條件改變，兩個條件不變，長方體體積的大小發生改變）
　　師：從上面的演示，我們知道了長方體的體積與什么有關？
　　生：與長方體的長、寬、高有關
　　師：請同學們大膽猜想一下，長方體的體積與長方體的長、寬、高有什么關系？
　　生：長方體的體積=長×寬×高
　　師：想知道猜想的結果對不對，我們就要驗證了，請同學們分小組動手擺出幾個不同長方體，觀察每個長方體的長寬高分別是多少？體積是多少？填好以下表格。
　?。ㄗ寣W生打開書本填寫好書本表格）
　　學生根據老師的要求，分小組擺出不同的長方形，記錄長方體長、寬、高的數量，再觀察表格利用數據發現，很快就得到結論：長方體的體積=長×寬×高。看起來行云流水般的一節課，但是仔細推敲一下，就會發現以下問題：1.為什么要擺幾個長方體？2.為什么要數出有幾個小正方體？3.表格為什么這樣設計呢？每一步的用意何在？4.長方體的體積是數出來的還是算出來的……學生填寫表格困難不大，但是學生只是知道怎么做，卻不理解為什么要這樣做。這是典型的數學中的“會而不懂”的現象。
　　二、只關注表格的應用，忽視對表格的體驗
　　教學片段二：《誰先走》
　　師：用拋瓶蓋決定誰先走，這個游戲規則公平嗎？
　　生1：公平，因為蓋面朝上的可能性與蓋面朝下的可能性都是只有一種，可能性相等
　　生2：不公平，因為蓋子一面重一些，一面輕一些。
　　生3：公平，拋瓶蓋類似于拋硬幣，公平
　　師：要知道拋瓶蓋決定誰先走這種游戲規則是否公平，我們可以怎么做？
　　生：動手拋一拋。
　　師：對的，實驗出真知，我們就拋一拋瓶蓋，請各小組按照活動要求拋一拋，把數據記錄下來，并把數據填到匯總表。
　　各小組根據活動要求開展活動，并填寫好匯總表，電腦自動匯總數據，學生通過觀察數據得到結論：蓋面朝上的可能性小，蓋面朝下的可能性大，這種游戲規則是不公平的。這個表格書本上是沒有的，是教師為了幫助學生理解而自行設計的，目的是讓學生利用更多的數據來得到結論，避免個別組的結果因為偶然性使結論產生偏差。只是，對于這個突然出示的匯總表，學生往往不會去思考目的與意義何在，學生只會按老師的指示去完成。這樣又是一個典型的“會而不懂”的現象。
　　三、過分強調表格，忽略甚至否定其它方式
　　教學片段三：《嘗試與猜測》
　?。ń處煶鍪绢}目：雞兔同籠，有8個頭，26條腿，請問雞兔各有幾只？）
　　師：雞有幾只，兔有幾只？你是怎樣想的？
　　生：我是這樣想的：當雞為8只，兔為0只的時候，腿數為16；當雞的只數為7只，兔為1只的時候，腿為18，依次類推，當雞為3只，兔為5只的時候，腿就剛好是26。
　　師：如果我們把這位同學都想法填在表格上，你有什么感受？
　?。ń處煶鍪颈砀?，把學生的匯報填寫在表格里，讓學生觀察）
　　生：很整齊，很有條理。
　　師：我們的書本就是用列表格來解決這類問題，我們今天就學習用表格解決嘗試與猜測的問題。
　　教師出示問題情境后直接讓學生用列表策略解決，而不關心學生是否產生學習這種策略的內需。教材選擇列表整理是因為它易于操作，便于學生運用。學生是生動活潑的，富有個性的。教師要尊重學生的選擇，讓大多數學生能采用適合自己的方式整理信息，在介紹列表格解決問題時，要突出列表格的優勢，讓學生自覺產生選擇這種方法的需要，而不宜過分強調列表整理信息，忽略甚至否定其他整理形式。
　　列表格解決問題是解決數學問題的一種策略，它可以很好的幫助學生整理信息，發現規律，而且能做到不重復，不遺漏，對培養學生有序思考問題提供一種很好的數學模型。但是在實際教學中往往會只關注表格的填寫、使用，忽略了對表格的理解與體驗，往往造成學生“會而不懂”如何用好這種策略，針對以上常見的問題，筆者對以上三個教學片段加以改進來說明：
　　四、書本呈現的表格，一定要讓學生理解表格的內涵
　　教學片段一改進：
　　（電腦演示一個長方體，由三個小正方體組成）
　　師：同學們，你能擺出一個體積更大的長方體嗎？擺完后說一說你是怎樣做到的？ 　　生：我是在原來的長方體上面增加一行，長方體的長、寬沒有改變，高增加了，體積也增加了。
　　生2：我是在原來的長方體后面增加一行，長方體的長、高沒有改變，寬增加了，體積也增加了。
　　生3：我是在原來的長方體左邊面增加一個小正方體，長方體的寬、高沒有改變，長增加了，體積也增加了。
　　師：長方體的體積可能跟什么有關？有什么關系？誰愿意大膽的猜一下。
　　生：我覺得長方體的體積與長方體的長寬高有關，長方體的體積=長×寬×高
　　師：你們都認為這樣嗎？你們準備怎樣驗證，請在小組內制定出驗證的方案。
　　（學生分組討論，得到共識后匯報）
　　生：我們這一小組認為需要動手擺出更多的長方體，然后記錄每個長方體的長、寬、高，數一數長方體的體積，看看體積是否等于長乘寬乘高就可以了。
　　生：我們小組的方法也基本相同。但是要多擺幾個長方體進行比較，數據多一點會更有說服力。
　　師：你的回答總是那么精彩。你們覺得這種方法可行嗎？
　　生：可行。
　　師：那也就是說我們要做的就是擺長方體，記錄長寬高的數據，數一數每個長方體的體積，并利用得到的數據計算長方體的體積，檢驗一下是否與數正方體個數得到的體積一致？
　?。ń處熞贿呎f，一遍利用多媒體呈現表格）
　　師：只是擺一個夠不夠？
　　生：不夠，要多擺幾個看看是不是每一個長方體都是這樣。
　　師：我欣賞這樣的態度，任何科學的驗證都不可能一次就得到結論，所有要多擺幾個。
　　教師一邊說，一遍利用多媒體呈現表格：
　　以上教學片段，老師沒有讓學生馬上動手實踐、填表，而是讓學生分組討論出驗證的方案。在學生匯報方法時，教師提取出關鍵詞：擺——記錄——數——計算，根據關鍵詞呈現出相應的表格。教師就這樣不著痕跡的引導學生經歷了表格形成的過程。學生真正明白了表格的每一步設計的用意，感受到這個表格對解決問題的重要性，從而會形成對表格解決問題策略的真正理解。遇到相關問題時，學生不但可以填表格，還要理解表格每一步的意圖，有效避免了“會而不懂”，真正做到知其然更要知其所以然。
　　五、教師設計的表格，一定要讓學生體會使用表格的必要性
　　教學片段二的改進：
　　各小組動手操作后，教師巡視，收集了一組數據展示：
　　生：我們小組通過實驗發現：蓋面朝下的可能性比蓋面朝上的可能性大。
　　師：第一小組用實驗證明了蓋面朝上的可能性比蓋面朝下的可能性大，你覺得這個結論一定成立嗎？你有沒有不同的意見 。
　　生：我們這一組通過拋瓶蓋發現：
　　生：我們組不同意這個結論，我們小組通過實驗發現：蓋面朝下的可能性比蓋面朝上的可能性大。
　　師：這個小組得到的結論與第一小組的結論剛好相反，你們認為這個結論一定成立嗎？
　　生：不行，因為拋的次數太少了
　　師：你認為我們的樣本太小了，不足以說明問題，那么你覺得我們怎樣做，才能更好地說明問題？
　　生：需要更大的樣本。
　　師：你們認為應該取多少個小組比較合適？
　　生：我們班就有8個小組，不如把8個小組的數據全部匯總起來
　　師：這個同學真有想法，知道利用數據最大化。是的，樣本越大就越接近事物的本質。
　　教師呈現匯總表，讓學生匯報數據。
　　對于教師“一廂情愿”提供的匯總表表格，學生能接受嗎？如果不使用教師提供的匯總表格，學生能否解決問題呢？其實大部分學生都能根據題中隱含的數量關系自己獨立解決，只不過他們是憑經驗而為，解題思路相對比較無序。面對這樣的教學起點，如果我們一廂情愿地告訴學生解決問題要用教師提供的表格整理信息，解決問題，那么學生不但不能體會列表的好處，相反容易產生厭煩的情緒。因此，要讓學生形成并掌握列表的策略，首先要做的到的就是讓學生體會到列表的好處，激發學生尋求列表格解決問題的需要。同樣是利用表格匯總數據，得到結論，但是原來的教學片段三直接出示表格，讓學生匯總，學生只是盲目跟從老師要求進行匯總，但是為什么要匯總數據，學生根本不了解也沒有想過要去了解，知其然而不知其所以然。而改進后的教學片段三，教師注重利用學生現場生成的數據，引發知識的沖突，讓學生體現了匯總表的必要性，匯總表格的出現就是水到渠成了，真正讓學生做到知其然也知其所以然。
　　六、用列表格解決問題，一定要學生感受列表格解決問題的優越性
　　教學片段三改進：
　　師：剛才同學們在小組內進行了交流，每個小組確定了一種方法來解決這個簡單的問題，下面請各小組派上講臺給大家交流他們的解決問題的方法。有請第一小組的同學進行交流，大家要認真傾聽，隨時向這個小組提問。
　　生：我們小組用的是畫圖的方法。我們先畫8個圓代表8個頭，然后個頭添上2條腿，就一共添了16條腿，這個時候雞的腿數齊了，剩下10條腿的全是兔的腿了，每只兔子還差2條腿，所以再給每只兔子添上兩條腿，這樣就可以添5只兔子，所以有5只兔子，有3只雞。
　　師：這道題用畫圖的方法可行嗎？對于畫圖法，你有什么想說的？
　　生：我覺得這個方法可以，如果數目較多的時候，畫圖就麻煩了。
　　師： 哪一小組的方法與他們小組的不一樣？
　　生：我們小組是用的假設法，當雞為8只，兔為0只的時候，腿數為16；當雞的只數為7只，兔為1只的時候，腿為18，依次類推，當雞為3只，兔為5只的時候，腿就剛好是26，這樣都得出了雞為3只，兔為5只。我們這一小組匯報完畢，有沒有小組有問題想問？
　　生：我覺得用假設法是可以的，但是如果數目較多的時候，一一假設也很麻煩。而且數字一大堆，看起來比較亂。
　　師：如果我們把數字整理一下，看看效果怎么樣。
　　（教師板書，把剛才學生的方法一一有順序的呈現）
　　師：現在整理好了，同學們還有什么想法？
　　生：現在整理好，比較有順序，而且也容易找到規律。
　　師：這種方法按照一定的順序找，能做到不重復、不遺漏，而且比較方便發現規律。如果在這個方法用表格表示，覺得怎么樣呢？ （教師直接在剛才整理的數據外面加了一個表格）
　　生：那就更清楚了，很有順序。
　　師：是的，列表格解決這道題目，比較簡單易行，表格看起來很有條理，而且不重復不遺漏，一定能找到我們需要的答案，這是一種很好的解決問題的方案，所以我們的書本就專門給我們介紹利用表格解決問題的方法，我們一起來學習吧。
　　在解決問題過程中，學生可以選擇多種方法解決。如在學習雞兔同籠時，學生可以畫圖、直接計算、列方程解決，也可以列表格解決問題。但是北師大版教材呈現的是三種列表格解決問題的方法，沒有出現其它方法。如果老師直接出現題目，讓學生獨立解決，學生卻很難想到列表格解決問題的方法。因此本節課必須引導學生體會到列表格方法的優越性，從而產生列表格解決問題的心理需求，并主動運用列表格解決問題。
　　列表格，不管是書本已有的表格讓學生填寫，還是教師自行設計的幫助學生更好的解決問題的表格，都要讓學生理解表格的內涵，讓學生在實際操作中體會到列表格的必要性與優越性，知其然更要知其所以然，才可以真正培養學生利用表格解決問題的能力。讓真正理解列表格解決問題的這種良好的策略，直覺、主動的使用這種策略，讓學習更有趣更有效！
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