矩陣特征值的求法舉例
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摘 要：矩陣特征值是線性代數的一個重要知識點，特征值的求法有些題目具有一定的特性時有一定的解題技巧。掌握這些解題技巧，可以更好地解決具有這些特定特征的矩陣特征值問題，提高解題的效率。該文通過筆者多年來線性代數授課經驗，總結一下線性代數教材中經常出現的幾類矩陣求特征值時的技巧，為快速準確地得出特征值提供一定的借鑒。
關鍵詞：線性代數 矩陣 特征值
中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）03（a）-0139-02
Absrtact： Matrix eigenvalue is an important knowledge point of linear algebra， and the method of finding eigenvalue has certain solving skills when some problems have certain characteristics. Mastering these problem-solving skills can better solve the matrix eigenvalue problem with these specific characteristics and improve the efficiency of problem-solving. Based on the author's many years of teaching experience in linear algebra， this paper summarizes the skills of finding eigenvalues of several kinds of matrices which often appear in the textbooks of linear algebra， and provides some references for obtaining eigenvalues quickly and accurately.
Key Words： Linear algebra; Matrix; Eigenvalue
特征值是線性代數的一個重要的概念，是研究矩陣相似對角化與二次型這兩章內容的重要基礎。沒有特征值跟特征向量，這兩章體系都建立不起來。因此，給出一個n階方陣后，求出全部的n個特征值就尤其重要，是研究這兩章內容的出發點。求特征值的方法是從特征多項式出發，令|A-E|=0得關于的n次方程求出n個根，即為矩陣的n個特征值。求根如果次冪高是有難度的。而我們討論問題時基本上用3階方陣，3次方程求根對學生來說難度也相當高，很多時候關于的三次多項式算得出來，但3個特征值求不出來。這樣后續的特征向量以及其他計算都會受到影響。線性代數教材還有參考書基本上都是直接給出結果，沒有計算過程。因此接下來將以幾個3階方陣為例，提供幾個好用的解題技巧，以方便學生快速準確地得出特征值。
1 具體內容
?。?）矩陣某行或某列非主對角線位置上的元素有2個0。
例如求矩陣的特征值。此題，教材上的步驟
就是，中間過程沒有。形如
這類題目，對學生來說是容易的，只需按第三列展開降階，此時其中一個因式（5-）出來后，剩下二階行列式算好后再分解因式即可得（1-）2。避免直接計算出三次多項式，因為二次多項式分解因式比三次多項式容易。
?。?）矩陣每一行或每一列所有元素和相同。
例如求矩陣的特征值。此題，教材上的步驟就是，中間過程沒有。形如這類題目的處理技巧是將二、三列加到第一列，第一列即可提出因式（5-），再用性質化上三角行列式即可。具體步驟如下：
?。?）用行列式的性質可提出關于的因式。
例如求矩陣的特征值。此題教材上的步驟就是形如這類型題目的處理技巧是將第一行乘-1加到第二行，將第一行乘1加到第三行，第二行可提出因式1+，第三行可提出因式1+，此時3階行列式計算結果只含有一個。具體步驟如下：
此題兩行都提出關于的因式之后得到的3階行列式是關于的一次多項式。若有些題目只能提出一個關于的因式，剩下的行列式是關于的二次多項式再分解因式也簡單。
?。?）以上3種都不是的技巧舉例。
例如求矩陣的特征值。這道題每年布置作業的時候，部分同學跟參考答案一樣直接寫結果沒有中間步驟，部分同學先把三次多項式算下來，再三次方程求根，計算過程很繁瑣，也容易算錯。還有同學干脆空著，沒有算下去的信心。這種矩陣沒有像前三種帶明顯特征，每個人的處理技巧可能都不同，選擇的方法不同，計算難易度也不同。筆者用的技巧是對第二列用行列式分列相加性，具體如下：
2 結語
為了避免用的三次方程求根求不出來的情況，可以采用的解題技巧是，盡量通過行列式的性質先提出一個關于的因式出來，再將行列式展開成關于的二次多項式再分解因式就簡單不易出錯。
參考文獻
[1] 胡覺亮.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2] 陳維新.線性代數簡明教程[M].北京：科學出版社，2007.
[3] 張雪飛，鄭素文，宮雷，等.線性代數中矩陣理論的教學[J].科技風，2019（1）：31.
[4] 章超，蔡紅艷.矩陣的特征值與二次型在橢球面上的極值[J].讀與寫：教育教學刊，2018，15（5）：16，45.
[5] 鞠學偉，戚愛玲.矩陣特征值在微分方程中的應用[J].教育教學論壇，2018（8）：221-222.
[6] 智婕.二階矩陣特征值和特征向量的快速求法[J].洛陽師范學院學報，2014，33（5）：5-7.
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