如何在高等代數中“縱關”與“橫聯”
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作者: 徐傳泉
摘 要：初等代數的研究對象擴充形成高等代數后，對原來的許多概念和量進行了創新和擴充。本文簡要分析了縱關線性方程組理論及橫聯的數形互動。
關鍵詞：高等代數；數形互動；線性方程
中圖分類號：G640 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2011）01-0080-01
一、縱關
線性方程組理論對高等代數來說尤為重要和不可或缺，通過與初等代數的加減消元法相比較，對線性方程組矩陣解法、一般性數域上的多元線性方程組解的判斷及對解的結構的研究、討論了線性方程組解在幾何上的意義，解決了關于線性方程組中初等代數沒有能夠解決的諸多問題，表現出高等代數解決問題的成熟性規范。
科學技術領域和工程中的很問題都是通過對非線性方程組的求解來解決。因此，對非線性方程組的求解是科學研究和工程建設中不可避開的問題。學術界的許多專家，多年來對于高等代數中非線性方程組的求解問題做了很多研究。例如我們常聽到的牛頓法、迭代法、共軌方向法、梯度法等，就是為求解非線性方程組而提出來的。但是這些方法無一例外的是針對一些具有特殊性質的非線性方程組求解，對于那些缺少特殊性質的復雜方程組并不能順利求解。
進化計算技術的興起，和在和優化問題上的廣泛應用，引起了學術界的普遍關注。特別用粒子群優化算法求解非線性方程組成了學術界思考所在。粒子群優化算法極少的參數設置、極快的收斂速度，極強的使用性，成了學術界不可抵制的“誘惑”。各種利用粒子群優化算法求解非線性方程組的方法紛紛被提了出來，非線性方程組的求解迎來了另一個春天。差異算法的穩健性讓人吃驚，無論是求解多峰函數、非凸函數還是非線性函數的優化問題都游刃有余，而且對同樣的精度要求，差異算法收斂的速度十分驚人，并在解決函數的優化問題上，迅速“流行”，而在各種解決方案中也頗受歡迎。學術界利用差異演化的算法在非線性方程組的通用模型上演算，然后將演算結果與粒子群優化算法同等條件下的演算結果進行對比，發現兩者并無誤差，這為差異演化的算法的廣泛應用提供了堅強的后盾。
二、橫聯
“數”“形”互動完美的形容了高等代數和解析幾何的關系，可以說這兩門學科是互相依存的，“你在，故我在”，離開其中的一門，單純談論另一門，是十分空洞的。高等代數高度抽象性的概念與高度概括性的定理，對于許多初學者來說顯得十分飄渺虛無，看不到，又摸不著。高等代數的這些特點使其成為一門讓人“望而生畏”的學科。初學者在學習高等代數的時候往往感覺十分抽象，面對各種習題往往無從下手。特別是線性代數作為高等數學與解析幾何的橋梁，將兩者緊密相連，相互依賴，使高等代數的理論延伸到了解析幾何，高等代數成了“無邊無盡”的學科。解析幾何將高等代數中向量空間與歐式空間的理論應用于二維空間、三維空間當中，其本質其實就是二維或者三維的線性代數。所以很多高校老師都會面對這么一個問題，究竟采用何種方法可以通過某些幾何的具體實例來進行高數與解析幾何之間的數形互動，能夠讓學生通過幾何模型“看得見”代數概念，同時代數的理論、概念也能簡化我們對幾何的研究，這對學生來說是很有幫助的。對于很多初學者來說，高數抽象的概念是令人難于理解的，對原理、定理更加難以推導和應用。幾何實例適時適當的應用于高等數學是至關重要的，就像將本來虛無縹緲的東西變得可見了，使抽象的東西變得不再抽象了，這對初學者是十分重要的。不僅如此，還能更好的體驗和掌握一般的代數理論，并用之于解析幾何。
很多初學者都在避談“建?！钡某橄螅M量以圖形作為分析的手段。但是，無論我們是否承認，傳統學習方法中很多方法對于我們來說還是十分受用的。數學模型和數學概念就像一對雙胞胎，沒有誰好誰差之分，都是科學研究中十分重要的方法。邏輯思維與形象思維既對立又相互聯系，都是從低到高逐漸發展。簡單的說邏輯思維就是物質的本質，通過分析、對比、剝離、綜合、簡化分析概念，在此基礎上，利用概念對新的問題進行判別、推算。形象思維則是一種“看得見”的思維，它通過“看物體”對知識進行分析、對比、剝離、綜合和概括。
三、結論
高等代數看似獨立，但是和其他的學科之間，卻是彼此牽連、相通。因此，在學習過程中不僅需要關注各體系，各學科之間的交互，還應該學會如何在高等代數中“縱關”與“橫聯”，只有這樣才能真正學好高等代數。
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