基于數學核心素養的概念教學
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摘要：數學概念是人們對某一件數學事物由感性認知上升為理性認知的一種概括定義，是數學學習與研究的基礎，是激發與升華數學思維的保障。而高中數學課堂中，從學生學習角度分析，概念教學基本分為概念認知、概念辨析、概念應用這三個環節，而本文研究的就是概念認知這個第一環節。學習的主體是學生，概念的認知是教師給予，學生在探索中發現生成的，學生對概念的本質理解是至關重要的。很多教師認為概念的生成是浪費時間的過程，只要通過自己的解說，將概念解釋清晰，學生努力接受并理解，概念認識環節就成功完成。事實上，對于數學概念，若學生被動地接受理解，更多的是對概念的記憶性理解，而如果是學生探索過程中逐漸生成概念，更多的是對概念的本質性理解，顯然，后者是正確之道。本文我們將根據不同的概念類型，通過實際教學案例，談談概念生成的相應策略。
關鍵詞：數學教學;核心素養;概念教學
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2019）01-0110
一、“命名型概念”的生成，尋找本質
高中的數學概念有些實際上是“穿了新衣的舊人”。有的概念從本質上來講并不是新內容，是我們在高中前的學習中已理解并掌握的知識，因為知識體系或其他原因的需求，才給予新的命名，形成了新的概念，這種概念筆者將它歸類為“命名型概念”，此類概念的生成，只需將已學知識復習強化，重新命名，并讓學生明確是“舊人新衣”，概念自然就生成，而且明確概念的本質。
案例1：函數的零點概念教學
分析：“函數的零點”這一概念，實質是函數圖像與x軸交點的橫坐標。而根據學生的認知，函數圖像與x軸的交點以及它的橫坐標是已經掌握的知識。因此該節課只需復習強化函數圖像與x軸的交點問題，然后，將這個舊知識取個新名稱即可。筆者認為該概念的生成可以設計如下。
問題1：請完成以下表格，并回憶以前所學的相關知識。
問題2：從以上表格中，你能否總結出方程的根和相應函數圖像與x軸交點的橫坐標的關系？
問題3：某一函數圖像與x軸交點的橫坐標很重要，它和相應方程的根相等，那么我們是否可以給他定義一個名詞？它的本質是f（x）=0時x在坐標軸上的取值，因此，我們把它稱為函數的零點。
小結：函數的零點，就是函數圖像與x軸交點的橫坐標，是我們初中就已認知的內容，如今我們給了它一個新的名詞，同時它與相應方程的跟相等。
在此案例中，很自然地就生成了函數零點的概念，學生也十分清晰，此概念從本質上而言，并不算是新知識，只是舊的內容給了新的名稱。概念掌握了，本質也明確了，緣由也清楚了。
二、“相似型概念”的生成，尋找同胞
高中數學知識體系決定了我們學習的很多概念都存在相似性。比如指數函數和對數函數、等差數列和等比數列等，在已學知識的基礎上，只需根據同胞的內容與特征，通過類比的方式，自主完成概念的生成即可。
案例2：等比數列的概念教學
分析：在學習等比數列時，學生剛剛完成等差數列的研究與學習。根據兩個概念的相似性，我們只需復習等差數列，類比總結，讓學生自主生成等比數列概念。
問題1：根據已學知識填寫表格第一列空格，并通過類比的方法，猜想并填寫表格第二列空格。
問題2：請根據以上表格，探究等比數列與等差數列在本質上的相似性，并說說他們的特殊性對我們研究數列的意義與作用。
問題3：請根據以上表格，探究等比數列和等差數列的區別，并說一說我們在解決等比數列中要注意的細節問題。
小結：等比數列和等差數列在實質上的形似性在于：數列的后一項與前一項都有簡單并特殊的關系，這層關系使我們較為方便的研究這兩類數列，同時也可以在實際生活中運用知識解決符合這兩類數列模型的問題。
此案例中，通過類比的方法，學生通過已學知識，輕松自主完成對等比數列這一概念的生成，并且能夠充分挖掘兩類數列的共同特征，從而進一步加深對兩類特殊數列的認識與理解。如此自主類比生成的概念，是無需教師后期強化記憶的，從認知角度而言，這是學生自發形成的知識，其印象的深刻性是教師的傳授所無法比擬的。
三、“全新型概念”的生成，尋找緣由
某些高中數學概念對于學生而言是陌生人。在這種情況下，概念教學往往會比較困難，如果引導生成設計不夠合理，概念的給出就會顯得十分突兀，最后的結果只能是學生被動理解。這種情況下，教師不妨嘗試把此概念形成的緣由和背景用形象的方式展示給學生，讓學生了解我們為什么要學習此概念，此概念的學習對我們數學知識體系的銜接與完善，對數學知識的應用有何作用。
案例3：集合的概念教學
分析：集合，是學生進入高中學習的第一個概念。因此，如何自然地清晰生成此概念，對于學生對整個高中數學學習的興趣與信心都至關重要。其實，集合是我們高中代數的重要工具，因此，我們在引導教學時，完全可以把這一目的意義展示給學生，讓學生知曉學習此概念的緣由。
問題1：某校很多班級的學生一起在操場上上體育課，此時聽到教師吹哨喊：“集合！”，高一（1）班的A同學對此口令沒有反應，繼續打球。教師補充一句：“高一（2）班同學，集合！”A同學聽到后，立馬停止活動，迅速集合。請你分析一下這兩個情景的原因？
問題2：生活中，我們經常需要根據某一需求將某些事物歸類，如所有的自然數，我們校園內的所有梧桐樹，A同學的所有文具等，我們能否用一個統一的概念來定義它們呢？如此既可以方便我們的描述，又可以完善我們的數學體系。
如此引導，學生比較自然地接受集合是我們實際生活及數學研究中經常碰到的一個概念，我們有必要將其歸納，以方便我們今后的學習。同時，也將集合這一概念的特性在概念的生成中形象地展示，學生可以輕松明確集合的確定性這一性質。 四、“抽象型概念”的生成，尋找代表
數學的許多概念，都是對生活中事物的理性認知，是對具體事物的抽象定義。因此，在實施抽象型概念的教學時，我們就要還原概念的具體模型，尋找抽象概念的代表，還抽象于形象，拉近學生的認知領域，降低認知難度，從而較好地生成概念。
案例4：函數概念的教學
分析：函數的概念是高中抽象概念的典型代表，很多時候，教師灌輸式的教學，讓學生對突然出現的集合和對應關系不知所云，導致學生對高中數學的學習產生畏懼心理，打擊學生的學習興趣與信心。筆者認為，對于抽象的概念必須還原成具體形象的實例，讓學生感受從具體到抽象的過程，讓學生親身經歷概念的生成。
問題1：某汽車以60km/小時的速度勻速行駛，行駛里程為S千米，行駛時間為t小時，先填寫下表，并用t的式子表示S。
以上事件中，有幾個量的取值在發生變化？有幾個量數值未發生變化？常量和變量如何定義？變量和變量之間有無某種聯系？你能否運用初中所學數學知識來描述這種聯系？在此，學生會提到自變量、應變量、正比例函數等知識。
問題2：下列四個圖像中，分別有哪幾個圖像與下表述的三件事較為吻合？
（1）離開家不久，發現自己好像忘帶作業本，于是停下在書包尋找，沒找到，就返回家，找到作業本再上學。
（2）一路勻速汽車上學，中間遇到一個紅綠燈稍等片刻，后繼續勻速抵達學校。
（3）出發上學，走了一段后發現快要遲到了，于是加速一路小跑，來到學校。
由圖像可得知，每一個確定的時刻，都有一個確定的距離值與它對應，讓學生再一次體會學生離家的距離與學生離家的時間兩個變量之間的這種關系。
問題3：以上兩個問題中，都是一個變量和另一個變量的一種關系，并且確定其中的甲變量的值，即可確定乙變量的值，這種變量之間的關系在問題1中我們可以表述成正比例函數，那么問題2中呢？它們是不是也算一種函數關系？你是否能用已學的函數表達式來表示？
通過兩個具體問題，揭示了函數的本質是變量與變量之間的一種特殊的對應關系，同時也讓學生體會到初中所學的三類函數是具體的函數，而我們的函數應該是具有相同特征的變量對應關系的抽象概括。這樣，既具體還原了函數的實例，同時又明確了函數這個抽象概念的本質特征是什么。用實際問題來揭示變量之間的一種對應關系，顯然比直接用抽象符號去教學要形象得多，學生也可以從函數的學習中生成函數的抽象定義。
五、“難點型概念”的生成，尋找階梯
數學中的某些概念的理解，往往某些點是學生難以跨越的難點。若教師在概念生成的教學設計中，能預設拆分這個難點，為學生搭好臺階，相信對學生準確生成概念是十分有幫助的。
案例五：古典概型的概念教學
分析：古典概型是高中概率問題中的一類經典類型，它的兩個顯著特征（基本事件的有限性和等可能性）是理解概念的關鍵。而第二個特征等可能性往往是學生理解概念中的難點。究竟什么是基本事件等可能，很多學生是模糊不清的。以至于后面在解決概率問題時，會將古典概型的公式應用至非該概型的問題上。筆者認為，在教學中，我們可以利用問題串的形式為學生鋪設臺階，然學生一步一步地體會等可能性的真正意義。
問題1：摸球游戲中，假設袋中有大小形狀相同的四個球，紅、黃、白、黑各一個，若從中任取一球，則得到紅球的概率是多少？
問題2：摸球游戲中，假設袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球1個，從中隨機抽取一球，問得到紅球的概率是多少？（該題中，學生有意見分歧，絕大多數學生覺得答案當然應該是1/4，但部分學生根據古典概型計算方法，列出了基本事件{紅球}、{白球}2個，于是認為答案應該是1/2。這時，學生顯然還未對基本事件的等可能性有準確把握，于是繼續設問。）
問題3：摸球游戲中，假設袋中裝有100個大小形狀相同的球，其中紅球99個，白球1個，從中任取一球，則得到紅球的概率是多少？（類比上問，此題可有{紅球}、{白球}共2個基本事件，但這個數字上的差距，對比問題二更容易讓學生意識到對等可能基本事件的設定，此時，很多學生開始糾正問題二中的錯誤理解）
問題4：在問題2與問題3的摸球游戲中，為確保所列基本事件是等可能的，我們應該如何看待那99個大小形狀完全相同的紅球？（學生開始意識到99個紅球應該看成是99個不同的個體。筆者對學生回答加以肯定并強調，這99個球本來就是99個不同的個體）
問題5：學生在做題時，如何區分這99個大小形狀相同的紅球呢？（很多學生搶答：可以編號。于是，引出了古典概型中學生最容易犯錯的問題：不同的個體應看成不同的元素，我們可以將每一個個體編號，這樣可以確保列出的基本事件是等可能的，于是該問題中我們應列出{紅球1號}、{紅球2號}、{紅球3號}…{紅球99號}、{白球}這100個基本事件。）
以上階梯式問題的巧妙設置，對學生理解古典概型中的等可能基本事件是十分有幫助的。學生通過教師設置的問題經歷認知——獲疑——再次認知——釋疑的過程，層層遞進，最終順利生成概念。
總之，作為高中數學學習的基礎，概念教學應該引起我們教師的足夠重視。忽略概念，而過急過多的強調應用，往往學生一知半解，依樣畫葫蘆，當問題的設問方式和角度稍有變化時，學生往往難以應對。只有對數學概念的學習有生成過程，才能使學生深刻理解概念的背景與實質，從而提升學生理解問題的深度與廣度，激發與升華學生的思維，最終提升學生的數學素質。
（作者單位：①浙江省杭州市塘棲中學 310000;②浙江省杭州市塘棲中學 310000）
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