從分析分式方程增根例談學生數學思維能力培養
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【摘要】在初中分式方程的教學中，我們會碰到分式方程增根與無解的情況，教材中內容簡單，要求也不高，教師在處理教材時，一般不會深入挖掘教材。如果我們去深入挖掘，那么這個內容是培養學生數學思維能力的好素材。筆者在課堂教學和練習中不斷強化數學思辨，注重培養學生的數學思維能力。
【關鍵詞】分式方程;增根;數學思維;能力培養
數學思維能力是數學能力的核心，它包括：分析能力、概括能力、抽象能力、判斷能力、推理能力、探索創造能力，而其中分析、概括、抽象是思維能力的基礎表現，判斷、推理是思維能力的發展表現，探索創造是思維能力的高級表現。
學生數學思維能力的培養不是一朝一夕的事，它是一項長期的系列化的過程，需要數學教師在教學中有培養學生數學思維能力的意識，并長期堅持，針對教材內容發掘教學內容的內涵，進行有計劃、循序漸進地培養。下面筆者以分析分式方程增根為例，談談學生數學思維能力的培養。
在講初中數學分式方程增根的時候，如果我們只從應付中考的角度去思考的話，只要讓學生明白兩個問題即可：一是分式方程產生增根的原因;二是如何判斷增根。教學內容非常簡單，學生也很容易掌握，但是我們從培養學生思維能力的角度去分析、挖掘，效果就完全不同：
一、通過分析、概括、歸納，找到產生增根的原因和判斷增根的方法，培養學生的基本思維能力
例：解分式方程：
生：解：方程兩邊同時乘以x-1得：x2-（2-x）=0
即 x2+x-2=0
?。▁-1）（x+2）=0
∴x=1或x=-2
師：將∴x=1或x=-2代入原方程試試，看有什么發現？
生A：x=-2時，方程成立，但x=1時，原方程分母為0。
生B：x=1時，原方程分式中有分母為零的現象，但分母是不可以為零的，x=1應該不是原方程的解。
師：同學們分析解方程的步驟，能否發現或找到使分母為零的原因？
生A：因為我們在將方程中的分式化為整式時是將方程兩邊同時乘以了（x-1）
生B：兩邊同時都乘以（x-1），應該沒有問題呀。
師：同學們，我們分析一下下面的這個現象：①5=5，②4≠5
現在我們將它們的兩邊都乘以2：
5×2=10，5×2=10
4×2=8，5×2=10
5×2=5×2
4×2≠5×2
現在我們將它們兩邊都乘以0，再看一下結果：
5×0=0，5×0=0
4×0=0，5×0=0
5×0=5×0
4×0=5×0
師：這個現象說明什么問題？
生A：將兩個不等的式子兩邊都乘以零，可使原來不等的式子變成相等。
師：能否舉些例子？
生A：如與-2，≠-2，
但×0=0，-2×0=0
×0=-2×0
師：在上述解方程時，將所有項都乘以了（x-1），這個（x-1）的值有幾種可能？
生A：3種，正數、零、負數。
生B：2種，①x-1=0，②x-1≠0
師：兩位同學按不同范圍來分都對。
師：請大家思考當x-1=0時，將方程兩邊都乘以（x-1），可能會出現什么問題？
生A：方程兩邊都為零。
生B：方程兩邊原來可能不等，但兩邊都乘以零后，就相等了。
師：很好。當x-1=0即 時，方程兩邊可能由不等變相等，也就是x=1本來不是原方程的根，但因x=1時就是x-1=0，所以兩邊同時乘以（x-1）（即乘以0）而使方程成立，變成了方程的根，也就是增加的根。
師：分式方程產生增根的原因是什么？
生：方程兩邊乘以一個為零的式子。
師：而這個可能為零的式子是怎么確定的？
生：是分式方程中各分式的公分母。
師：請大家歸納一下分式方程的解題步驟。
生：解分式方程步驟：①找分式方程各分式的公分母;②方程兩邊都乘以公分母，將分式方程化為整式方程;③解整式方程;④檢驗。
師：在檢驗時，用什么來判定求出的根是否為增根？
生：使公分母不為零就行。
通過這種分析、概括、歸納的思維過程，學生深刻理解了數學知識的內涵，形成了一種良好的思維習慣和能力。
二、通過判斷，掌握分式方程的解法和各種形態，培養學生的判斷、推理思維能力
1.通過解分式方程，讓學生掌握分式方程的步驟，培養學生應用思維能力
例：解分式方程：
生：解：方程兩邊同時乘以x+1，得：4x+3x+x2=0
?。▁+1）（x+3）=0
∴x=-1或x=-3
經檢驗：當x=-1時，分母x+1=0， ∴x=-1是增根
當x=-3時，分母x+1≠0，∴x=-3是原方程的根
2.通過判斷，掌握分式方程解的情況的各種類型，培養學生深度應用思維能力
師：以上三題最后結果都是“無解”，能否發現它們的不同之處？
生A：①③都是無解，②是無實數解。
生B：①可以求到一個增根，無解，②是無實數根，③根本不成立。
師：①③實際上是同一類問題，都不可能成立，②在實數范圍內無解，言外之意，在實數范圍外有解。但從表現形式上分類：一類除增根外，無其它解，一類是根本無解。
三、改變提問方式，通過推理得到解決新問題的方法，培養學生逆向思維能力 在分式方程學習中，教師注重分析、概括、歸納，而往往忽視逆向思維的培養，造成學生思維受約束，思維不靈活，導致學生能力不強。若我們在教學中善于轉變提問方式，可能讓學生“舉一反三”，靈活運用。
例：已知無解，求a的值。
師：此題就是的變形提問，將原來“已知a”分式方程無解，轉換為“已知分式方程無解”求a。
師：你們能否找到這個題的解題思路？
生A：剛才講了分式方程無解有兩種情況：一類只有增根，無其它根，一類是根本無解。
生B：本題可否可分兩種情況討論，一是只有增根，也就是找分母為0的未知數值，二是分式方程化為整式方程后，等式不成立。
師：同學們分析得非常好，對前面的內容理解到位，大家一起完成解答。
師生解：方程兩邊同乘以3（x-3）得：2x+9=12x+3a+6x-18
16x=27-3a
師：16x=27-3a可能是一個恒不成立的式子嗎？
生：不會，因為任意給一個a的值，都有一個x的值。
師：既然如此，就只剩下另外一種情況，什么情況？
生：取增根x=3，而無其它根。
此時，水到渠成：∴a=-7
再變換，例：已知無解，求a
師：此題如何？
生：方法一樣?。ü?
解：方程兩邊同時乘以3（x-3）得：2x+9=3（ax-7）+2（3x-9）
?。?+3a）x=48
師：是否兩邊同時除以（4+3a）？
生A：是。
生B：不行，因為不知4+3a是否為0。
師：非常好，分兩種情況：
師生共同：①當4+3a=0時，即a=時，方程不成立，所以原方程無解。
?、诋?+3a≠0時，取增根x=3，即
∴a=4
這樣的逆向提問讓學生深度學習，深度理解，培養了學生深度思維。
四、擴展問題外延，通過探索創造拓展知識應用，培養學生的發散思
維和創新思維能力
學生在學習中要善于發現問題，教師在教學中要著手創建問題，擴展問題的外延，這樣才能讓學生視野開闊，創新發展。
例：已知的解為正數，求a的取值范圍。
師：這題與前面講的有何相同和不同？
生：式子相同，問題不同。
師：能找到解題思路嗎？
生：能。
解：方程兩邊同時乘以3x-9得：2x+9=3x+3a+6x-18
a）師：是否就考慮a<9？
生A：是。
生B：不對，應該還要滿足x≠3
師：真棒。
例：的根為負數，求 的取值范圍。
師：此題解題思路難找嗎？
生：不難，同上題。
師：有區別嗎？
生A：有，方程不同。
生B：上一題x≠3，這一題x≠-1且x≠2
師：非常棒。
師生共同：解：方程兩邊同時乘以（x-2）（x+1）得：
∵方程根為負數。
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