淺析用放縮法證明數列不等式的策略

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　　摘 要：數列以及不等式是高中數學的兩個重要模塊，同時也是歷年高考必考的兩個內容.其中數列類型的不等式是高考重點考察的一個類型，同時也是一個難點。因為對數列類型的不等式進行證明構造性強，而且思維跨度大，主要對考生思維具有的嚴謹性加以考查。對這類問題加以解決期間，經常用到的方法就是放縮法。基于此，本文旨在探究通過放縮法來對數列類型不等式加以證明的方法，希望給實際教學提供相應參考。
　　關鍵詞：數列不等式 放縮法
　　借助放縮法來對數列類型不等式加以證明，可以實現化繁為簡，進而提高解題效率。所以，進行復習教學期間，數學教師可帶領高中生總結歸納用放縮法對數列類型不等式加以證明的方法，進而做好備考準備。
　　一、借助基本不等式進行放縮
　　例如，設 .證明： .
　　證明：設數列通項是 ， .
　　因為 ，
　　所以 ，即 .
　　評析：借助放縮法對不等式加以證明，需要對放縮的度加以把握。在上述例題當中，對不等式的右邊進行證明時，主要通過基本不等式進行放縮，即 .如果放縮成 ，那么 ，這樣就放過了度。
　　二、借助二項式定理進行放縮
　　例如，設數列 的前 項和是 ，且滿足 ， ，并且 ， ， 成等差數列。求證：對于所有正整數 ，都有 .
　　證明：根據已知條件很容易得到 .
　　由于
　　所以 .所以 .
　　評析：此題主要是通過二項式定理把數列 的通項公式進行適當放縮，這樣放縮之后可以借助等比數列前 項和公式進行順利求和，進而對不等式加以證明。
　　三、借助函數具有的單調性進行放縮
　　例如，證明：對于任意的正整數 ，都有 .（其中 是自然對數）.
　　證明：從左邊看，可以將其看作是數列 的前 項和，其中 。從右邊來看，可以將其看成是數列 的前 項和 。
　　當 之時， ；
　　當 之時， ，適合上式，所以 （ ）.
　　原問題的等價形式是：當 之時，求證 成立，即求證 .所以可設 ，那么 .
　　當 之時， 恒成立，所以函數 在 上為增函數。所以， .即 （ ）.
　　分別令 ，相加可得 .
　　結語
　　綜上可知，用放縮法對數列類型不等式加以證明是高考經?？疾斓囊粋€重要內容，同時也是一項難點內容。一般可以通過基本不等式、二項式定理、定積分以及函數的單調性來對這類不等式加以證明。所以，數學教師需帶領高中生一同對證明這類不等式的方法加以歸納總結，這樣才可促使學生對這類問題具體解答方法加以扎實掌握，促使其在高考當中獲得較好成績。
　　參考文獻
　　[1]張利平.利用放縮法解決“數列+不等式”問題[J].中國農村教育，2018（18）：102-103.
　　[2]陳斌，楊彩清.數列不等式放縮法——由一個自招題談數列放縮的解題策略[J].中學數學研究（華南師范大學版），2017（21）：40-43.
　　[3]張建虎.用放縮法證明數列不等式中不可忽視的一個問題[J].數學教學，2016（08）：31-36.
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