信息技術環境下的三角函數教學
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摘 要：高中數學在初級數學教學中占據著極其重要的位置，其中三角函數既是教學重點，同時也是教學難度，如何攻破三角函數這顆“硬釘子”就成為能否保證高中數學教學質量的關鍵所在。其實三角函數既簡單又復雜，要使學生認識到三角函數的圖像特點以及不同三角函數之間的變化關系，這樣才能使整個教學過程變得既輕松又有趣，而幾何畫板則是當代高中數學教學中不可缺少的重要教學工具，合理使用幾何畫板可以使三角函數的教學變得生動而高效。
關鍵詞：高中數學;三角函數;幾何畫板;教學方法;多媒體
幾何畫板是一種高效、形象的多媒體教學工具，通過幾何畫板教師可以更輕松、隨意、形象地畫幾何圖形，并且能夠進行任意翻轉、平移、著色等一系列教學活動。對于學生而言通過幾何畫板他們可以更形象、具體地感知圖形或圖像的特點、特性以及變化規律，他們可以與圖像進行一次親密接觸，甚至可以自己動手繪制、“制造”一個相關圖像。這樣的教學內容不僅使課堂更“活”，也使學生對學習的積極性更高，使抽象的數學圖像變得有形象、有特點，使得教學過程變得有趣和豐富。
一、 善用幾何畫板，使三角函數變得形象
根據以往的教學經驗，學生普遍反映三角函數太抽象，正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數等函數圖像的特點以及三角函數之間的轉化關系弄不清，對函數的奇偶性、單調性弄不明白。其實我們在責怪學生學不明白、學不透的同時，也應該對自身的教學方法進行反思。傳統的教學方式單單是給出學生一幅圖片，讓學生聯想三角函數之間的動態關系、轉化關系，這樣就使得教學課堂變“死”了。幾何畫板是一種先進的教學工具，通過幾何畫板我們能夠使學生準確地掌握理論知識與函數圖像的關系，使不同三角函數之間的變化關系更有規律，使它們之間的聯系更緊密。也能夠使得學生能夠對三角函數有一個動態地、形象地接受過程和感官認知。
針對這一問題，我們是這樣設計三角函數的幾何畫板教學過程的。如在三角函數的教學的第一步——認識三角函數時，我們首先要巧用幾何畫板為學生繪制三角函數圖形，這樣就可以使學生對三角函數圖像的形成過程以及三角函數的函數意義有了一個更確切地了解和認知。如以正弦函數為例，繪制過程如：首先打開幾何畫板，
1. 第一步，確定單位長度，在畫板中任意標出一點A，使點A向右平移1cm形成點B，連接AB。使用繪圖——定義單位長度來自定義AB為單位長度。
2. 第二步，在畫板中任意選取一點O，以O為圓心，以1個AB長為半徑，作圓。
3. 第三步，以圓心O為原點做平面坐標系，繪制x軸和y軸，記x軸與圓相交的兩點分別為點E（正方向）和點E′，記y軸與圓相交的兩點分別為點F（正方向）和點F′。
4. 第四步，在圓上取一點M，連接點M和圓心O，要求OM在y軸正方向，且記OM與OF所成角度為角α。
5. 第五步，過點M做x軸的垂線，記垂足為點M′。用箭頭工具連接O、M′、M三點，方向為點O→點M′→點M。
6. 最后一步，我們為了使學生更清楚、準確地了解到正弦函數的形成過程，我們配合Flash軟件，制作當點M在圓上做順時針運動時，點M所對應的（x，y）圖像關系，此時x代表點M的運動軌跡，y代表MM′的長度。當Flash動畫演示時，學生發現點M的函數圖像如同波浪的形狀一樣，學生都感覺到驚訝極了。最后我們讓學生利用三角形OM′M來證明為什么sinα所對應的函數圖像可以利用M在圓上的運動軌跡來表示。之后學生開始分組討論，并且利用余弦的定義推導出答案。之后我們向學生發問：那余弦、正切函數又該如何表示？學生陷入沉思，之后課堂進入第二階段。
二、 巧用幾何畫板，使數學課堂變得生動
在利用幾何畫板成功地為三角函數“制作”出形象后，課堂教學的第二階段就應該是使學生認識三角函數的圖像特性和變化規律了。對于這點幾何畫板同樣可以達到十分理想的教學效果。由上文已知，正弦函數的意義在于點M在圓上順時針的運動軌跡與MM′長度的對應關系，那么由此可推余弦函數的意義在于點M在圓上順時針的運動軌跡與OM′長度的對應關系。這樣學生就能夠更直觀、清楚地了解到三角函數的實際意義和由來，能夠建立正弦函數與正弦定理的聯系、余弦函數與余弦定理的聯系。在教學中我們以正弦函數以及余弦函數的形成過程為入手點，首先使學生意識到三角函數不難，并漸漸地開始接觸、認識三角函數。之后我們利用幾何畫板將課堂深化。
如我們接下設計思考題：“老師已經演示了正弦函數和余弦函數的形成過程，你們也能夠建立正弦定理和正弦函數的關系以及余弦定理和余弦函數的關系。那么接下來你們想一想該如何用幾何畫板繪制正切函數，并且找出正切函數關于‘圓動’的圖像？”之后我們將全班學生分成若干個組進行討論。學生根據正弦函數的推導過程，即：以角α為固定角，建立點M在圓上的運動軌跡與MM′長度的對應關系。在思考后，學生紛紛說出自己的想法。學生發言總結：要想建立正切函數，我們首先就要找準圓內的正切關系，即角α對邊與角α鄰邊的比值。我們首先做OM的延長線，在點E處做x軸的垂線，交OM的延長線于點G，用箭頭工具連接點E和點G，方向為由點E到點G。這樣我們所求的函數對應關系就出來了，即點E在圓上的運動軌跡與EG長度的對應關系。我們首先給予學生肯定和表揚。像這樣的教學過程不僅使教學難度得到適當降低，而且使教學過程變得具有趣味性和探究性，使教學過程由淺入深，并且還能夠培養學生自主學習、自主探究學習能力，使學生在教學過程中的參與感增加，使課堂的互動效果更好，最終達到使課堂活起來的目的。
這樣的教學過程也更易激發學生的自豪感和學習信心，使學生對三角函數的概念、圖形特點、變化特點等有了更直觀地認知和了解，使學生不僅知其然，而且知其所以然。之后我們趁熱打鐵，讓學生將“圓動”圖像與函數圖像相互結合起來進行分析，進而得到三角函數的圖像特性和變化規律。以正弦函數為例，我們為學生設計思考題：若點M運動四分之一個圓、二分之一個圓、四分之三個圓、整個圓，那么MM′的長度會呈現出怎樣的變化規律？我們給學生5分鐘的思考時間，并不斷、緩慢地演示“圓動”圖與三角函數形成圖互相轉化的Flash動畫，并由此進入到三角函數教學的第三個階段。 三、 妙用幾何畫板，使數學教學變得高效
三角函數圖像的變化特點、單調性、轉化關系等是三角函數教學中非常重要的內容，但傳統的教學方式只將結果給學生，甚至只利用一幅標準的三角函數圖像進行一般規律總結，這種“灌輸”式的教學方法既無法引起學生的學習興趣，而且還會使學生將三角函數學“死”了，其腦海中根本無法形成有效的數學模型。幾何畫板則可以很好地彌補這種不足，通過幾何畫板使學生明確正弦函數、余弦函數、正切函數的“來龍去脈”后，通過豐富、靈巧地操作和形象、生動地演示使學生能夠自主去思考三角函數的圖像特性、探究三角函數的特點，并且對三角函數的學習和理解過程更是自然。
根據上文的思考題，我們順利地將教學任務引入到第三個階段——探究與應用階段。學生在對正弦函數中點M的“圓動”軌跡和三角函數的圖像行進比對和分析后，發現：以規定單位長度為1，那么就有在-π2，π2區間上，正弦函數的函數值由-1到1逐漸增加，在這個區間上正弦函數呈現單調遞增性。在π2，3π2區間上，正弦函數的函數值由1到-1逐漸減小，在這個區間上正弦函數呈現單調遞減性。并以正弦函數為基礎，讓學生根據幾何畫板的變化規律自行推導余弦函數和正切函數的圖像特點。
如正切函數，在-π2，π2區間上由無限小到無限大，并以π為單位無限循環，正切函數是單調遞增函數。之后我們可以抓住學生的這種學習熱情，將問題深化，引出一些相關的函數特性。如當角α在π4，5π4內時就有cosα≤sinα。當角α在
-5π4，π4內時就有cosα≥sinα。進一步引導學生自行推導出sinα+cosα以及sinα-cosα的符號象限分布特點等一系列內容。在教學中我們還可以教學生如何對幾何畫板進行操作，并且利用幾何畫板進行三角函數平移、正余弦函數轉換等內容的教學，使學生對三角函數有更形象地認知。
高中數學的知識特點就是難度大、關聯緊、數量多，尤其是以三角函數這章的知識最為明顯。三角函數是高中數學中最為重要的，同時也是較為抽象的、難教的。因為三角函數中同時涵蓋了數與形這兩個方面的內容。幾何畫板是一種先進、高效地教學手段和教學工具，在教學中我們要善用、巧用、妙用幾何畫板，引導學生產生學習興趣和探究行為，這樣才能從根本上提高三角函數的教學質量和教學結果。
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作者簡介：黃山，福建省寧德市，霞浦第一中學。
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