應用型高校高等數學案例式教學探討
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【摘 要】在高等數學的教學中開展案例教學是應用型高校培養學生應用能力和提高教學質量的有效方法之一。本文探討了案例式教學應用的意義、特點，實施案例教學的過程及相關示例，并指出在案例教學中還需要進一步深入研究的三個關鍵問題。
【關鍵詞】高等數學；案例式教學；實踐；關鍵問題
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0011-02
高等數學是工科院校的一門基礎學科，它直接影響到許多其他課程的課程建設和學生素質的培養。數學定理、概念比較抽象，學生都認為它枯燥無用。傳統高等數學的教學模式是“滿堂灌”，學生往往處于被動接受知識的狀態，給學生一種抽象、深奧的感覺，覺得學與不學都一樣。應用型高校是以培養應用型人才為目標的，傳統的教學方式已然落后。應用型人才培養目標要求在教學中加強培養學生對知識的綜合應用能力，注重數學與其它學科之間的聯系[1]。學習數學的目的是為了學以致用，必須培養學生利用理論知識解決實際問題的能力。因此，在應用型高校的高等數學教學中穿插專業案例或實際案例是迫切需要的，這樣可以使學生更加明確學習目的，發揮自主性，提高知識的趣味性，激發學生不斷思考、提出問題，分析和解決問題的能力。
案例教學法是1870年由哈佛大學法學院院長首創，在工商管理等學科的教學中取得了巨大的成功[2]。案例教學其實就是一種過程和實踐教學，教師根據教學目的選用典型性、啟發性的案例作為教學材料，把學生引入一個特定情境中，通過師生之間雙向和學生之間多向互動討論，讓學生了解與教學主題相關的概念或理論。傳統的課堂是著重于理論知識的傳授，案例教學則側重于培養學生通過分析、歸納出解決問題的思路和方法，把重視知識轉化為重視能力，同時又實現了師生的雙向交流。這種教學方式對教師和學生的要求都高，學生從被動的聽講者轉變為積極的參與者。雖然一開始學生的學習效率可能有所降低，但是學生的學習興趣和對所學知識的理解和掌握程度會有明顯的提高[3]。
案例教學于1980年引入我國后，已經在我國高校的管理、法律等專業的教學中得到了普遍程度的應用。但是，案例教學在高等數學教學中的應用還處于起步階段。從目前收集到的資料來看，盡管許多數學教師已經認識到了案例教學的價值，但是發表的論文都是在說明案例教學對高等數學教學的必要性上，真正的教學案例確實還是不夠專業和通俗易懂。
在高等數學中應用案例教學，就必須了解案例教學的特點：案例教學的實踐性是由案例的真實性決定的，學生根據所學的知識在教師的指導下解決問題，實際上是學生對自己真實生活實踐的體驗。在教學過程中，教師起著主導作用，學生是參與者，要充分發揮主觀能動性[4]。
1 案例教學在高等數學中的實踐
1.1 選擇案例
高等數學不同于其它課程，并不是所有的內容都適合案例教學，教師在上課前要精心選擇案例。如高等數學中的一些重要的概念，我們可以選取文化色彩濃厚或者學生熟悉的實際問題作案例：極限的概念可以用“割圓術”來引入說明；導數的應用可以用投籃的角度是多少時命中率最高的問題來體現；在極值部分可以選擇租賃公寓時怎樣才能達到最高收入作案例；在定積分部分可以組織學生建立一個交通流下黃燈閃爍時間的模型，培養他們將實際問題轉化成數學模型，從而應用所學知識解決簡單實際問題的能力；在一階微分方程部分可以結合我們日常生活中的化學溶液混合配比和銀行利率增長問題；在級數部分可以以信息處理問題為背景，簡單說明信號分析，密碼破譯的核心原理等。同時教師將數學與專業背景聯系起來，產生的教學效果就會更好，如給經濟學專業學生上課時，選擇一些關于社會經濟現象的數學模型，如經濟系統中價格漲幅對需求和利潤的影響可以用一元函數的極限與導數問題來解釋[5]。在案例的選取上，教師一定要把握好尺度，給出的數學問題要有探究性。案例太復雜，或者太簡單，都不能調動學生的積極性，更不能起到鍛煉學生邏輯思維能力的作用。
1.2 分析案例
高等數學中的概念、定理等有著很強的邏輯性和抽象性，因此，師生都要做好充分的準備。教師可以在授課前，將案例材料交給學生，并由教師提出針對性的問題，給學生時間去查找資料，在講授內容時，根據學生實際情況合理分組，并引導學生積極思考討論，讓學生闡述自己的想法主動學習。在這個過程中，教師應有效地控制課堂氣氛，把握討論主題和節奏，及時調整補充教學方案。在學生的討論結果中，教師應依據本節課的教學目的，通過分析、比較選擇最佳答案傳授學生。并且要對學生的表現做出積極的評價，以激勵下次更好地參與[6]。
1.3 歸納推廣案例
教師可以再列舉一些類似的案例，讓學生對比幾個案例的共同點，歸納提煉出新的數學概念和方法。讓學生在案例分析的基礎上把基本原理和概念掌握好，從而具備能運用理論知識分析解決實際問題的能力。
1.4 評估教學效果
要求教師對課堂效果及時進行評估，包括案例是否具有代表性，能否準確反應理論知識點，還有學生對已學知識的延展性，重點是學生對教學的參與熱情，能夠自己發現規律并能引申理論知識[7]。
2 案例教學中需要解決的關鍵問題
目前，我們進行案例教學需要解決的關鍵問題有三個方面。
首先，由于高等數學的案例教學處于實驗階段，案例庫匱乏。我們要結合應用型院校的實際情況，深入研究專業教學大綱，選擇或者編制符合教學目的，適合學生討論，便于理解的典型案例。再者，案例應具有真實性、啟發性和趣味性。要經常對案例庫進行更新和維護，滿足專業需要，做到與時俱進，完成案例庫的建設。
其次，案例教學對教師要求較高，需要教師具有很好地知識結構和教學能力，能夠在教學中結合專業和學生的實際情況進行教學。但是多數高校高等數學教師都是數學專業畢業直接走上講臺，其它學科背景知識不足，在案例教學中不能起到主導作用，臨場應變能力和組織管理課堂能力不行，這就求教師從多方面提高自己的綜合水平，大膽創新，積極實踐，不斷完善自我。 最后，由于學校培養機制的影響，具體起來不好實施，如現在由于應用型大學的改革，公共基礎課課時減少，很難在有限的課時內全面開展案例教學，我們只能選取有代表性的知識點利用案例教學，并且將其它教學方法參與其中靈活應用，力求獲得最大的效果。
3 對零點定理進行案例式教學示范
零點定理：函數在閉區間[，]上連續，并且，則在（，）內至少存在一點，使得。
由教師提出引例：假設有一個邊界、形狀任意且底面和表面都水平的蛋糕，問是否存在一個點，在這個點處切一刀可以把蛋糕分成兩塊面積相等的部分。
我們可以把問題歸結為把一個多邊形面積二等分的問題。用一條直線從左到右掃過整個多邊形，則位于直線左側的面積由0逐漸增大，直線右側的面積則逐漸減少。若把直線左側的面積記為，直線右側的面積記為，則隨著直線位置的變化，的值在某個點之前是負數，某個點之后是正數，它一定經過了一個點，使得。通過對這個實際問題的探討，既可以讓學生學習了零點定理，又將知識加以應用。同時為了拓展學生的知識面還可以讓學生思考日常生活中的其它例子，最后教師給出以下兩個問題，一是拉一根橡皮筋，一頭朝左，同時另一頭朝右，在橡皮筋不拉斷的情況下，橡皮筋上總有一點在它原來的位置不動；二是把椅子放在不平的地面上，通常三條腿著地，一條腿不著地，只需將它旋轉幾下就四條腿著地了。這些生活中很常見的問題平時很少有人去深入地思考，以此例可以引導學生多觀察生活，多動腦思考問題。
為適應應用型高校創新人才培養的課程體系的改革需要，教學實踐表明在傳統的高等數學教學方法中結合學生的專業知識，適當地運用案例教學，搭建理論聯系實際的平臺，讓數學學以致用，能夠激發學生的學習興趣，最終取得良好的教學效果。
【參考文獻】
[1]徐蘭.應用實例在高等數學中的運用.學園，2014（30）.
[2]陳晶晶，陳園.淺析案例教學在高等數學教學中的運用[J].現代企業教育，2011（23）.
[3]劉羅華，湯瓊.工科院校大學數學的案例式教學探討[J].湖南工業大學學報，2010（2）.
[4]常春.大學數學案例教學研究與應用分析.山西青年報，2014（10）.
[5]董慶華.“高等數學”課程的案例教學實踐[J].紡織服裝教育，2013（1）.
[6]何娟娟.基于案例教學法的高等數學教學改革實踐[J].開封教育學院學報，2014（9）.
[7]孫秀娟，王新霞，王春.高等數學案例教學法[J].高師理科學刊，2012（3）.
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