在問題引導中構建思辨課堂
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摘 要 抽屜原理的教學旨在通過讓學生初步經歷“數學證明”的過程，滲透一定的數學思想方法，提高學生的邏輯思維能力。為了幫助學生經歷抽屜原理的學習過程，筆者基于暴露學生真實的思維入手，借助問題解決，從“總有、至少”的別樣理解，到邏輯推理的滲透，以及抽象中經歷建模的過程的嘗試，可以使教師跳出囿于知識的囹圄，讓學生展現出思辨的理性。
關鍵詞 數學思想;問題解決;理性
中圖分類號：O331 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）02-0199-02
在教學人教版六年級下冊數學廣角《抽屜原理》（現稱《鴿巢問題》）這個內容時，筆者發現一個有趣的現象：多數學生會憑直覺經驗來認識抽屜原理：把4個蘋果放進3個抽屜里，有一個抽屜至少放0個才對啊，怎么會是2個呢？教師方面則是通過個別學生的理解試圖達到讓全體學生領會 “總有一個、至少”的含義。如何有效的整合雙方的訴求，達成共識，這引起了我們的思考。
【事實呈現】
片段1：
教師出示問題“把4支筆放入3個杯子，有哪些放法？”讓學生用豎線表示支數，把各種擺法畫一畫。然后學生開始匯報各種擺法，教師做好有序的記錄：4 0 0、3 1 0、2 2 0、2 1 1，之后老師讓學生觀察這4種不同的擺法，問這些擺法有什么共同的特點？學生對老師所提的問題無從下手，經過短暫又尷尬的一段時間的沉默，終于有學生站起來，說出了標準的答案：總有一個杯子至少放了2支筆。抓住這難得的契機，教師便引導學生觀察這4種分法，把2、3、4的數字圈一圈，說明每種擺法都至少有2支，完成了結論的驗證。
【我們的思考】
在例子中，教師讓學生觀察4種放法，問這些擺法有什么共同的特點，學生無從下手，這說明在探究時，學生還缺少一條有效的思維線索，把一系列可能的情況歸納為確定的一種情況。因此教師只能把少數同學的表述作為樣本強加給全體學生，我們不能否認這種教學方式的合理性，但學生對得出的結論是否真正理解呢？這樣的教學，是在教師的完全主導下進行的，學生沒有問題的意識，也就沒有思考的張力，同時，無視學生已有的認知，割裂了學生已有的知識儲備與能力儲備。張奠宙教授認為抽屜原理，是一種邏輯推理方法。如果僅僅把抽屜原理當作一種“知識”進行展示，就會陷入摳字眼的囹圄?；谏鲜稣J識，我們有了以下的實踐。
【我們的實踐】
1.課前調查
為了解學生對抽屜原理的認知程度，課前筆者選了六年級一個班做了一個小調查。筆者設計了2個問題：（1）你聽說過抽屜原理（鴿籠原理）嗎？抽屜原理有什么用？（知道的請寫出大致意思，不知道的直接做第2題）;（2）如果任意從班里找出3個小朋友，是否會有2個小朋友的性別相同？為什么？對第一個問題，全班52人，只有3人聽說過，接近95%的學生沒接觸過，不了解;有學生以為抽屜原理是教別人怎么做抽屜的？還有學生認為用抽屜原理可以進行計算。第2題，全班只有2人寫了不知道，大部分學生都能作出正確的判斷，而且理由是樸素的：因為世界上只有男和女2種性別，第三人就可能是其中的一種;還有學生把4種組合都寫出來了，驗證了結論的成立。這說明，對于抽屜原理的認識，學生的生活經驗可以提供足夠的支撐，抽屜原理難點在理解“總有、至少”的表述。
2.課堂實踐
我們在借鑒他人經驗的基礎上進行了實踐，意圖通過數學活動的形式，以問題解決的思路引領整個探究過程。主要過程簡述如下：
問題：把4個蘋果放到3個抽屜里，會不會有一個抽屜里至少有2個蘋果呢？
方法提示：可以以小組的形式進行探討，如每四人為一組，利用畫一畫、寫一寫，充分展現你們的智慧，看看最終你們的排列方案，很快A組進行匯報：把4個蘋果全部放進一個抽屜，老師用數字進行記錄：400、040、004，此時B組提出觀點：這3種放法其實都是一個意思，就是有一個抽屜里放了4個蘋果。教師進行講評：我們不能確定這4個蘋果放在了哪個抽屜，但總有一個抽屜放了4個蘋果。所以，我們可以不用考慮抽屜的順序。根據學生擺的情況，教師演示并板書剩余的3種放法：3 1 0、2 2 0、2 1 1;C組進行質疑，在2 1 1里，有一個抽屜放了1蘋果，怎么能說至少有2個蘋果呢？B組回答：可第一個抽屜放了2個蘋果了啊，我們只要找到有一個抽屜放2個蘋果就可以說明問題了……
教師結論：你們的觀察角度真準?？磥聿还茉趺捶?，總有一個抽屜里，它蘋果是最多的，可能是2個、3個、4個，這句話還可以說總有一個抽屜里至少放2個蘋果。
抽屜原理中“至少”的理解，它不同于一般語境中的含義，是一種在“最多”中找“至少”的全新思維方式，因而弄清其含義對小學生來說是有難度的。通過直觀操作，在明理的過程中，學生強烈的體會到總有一個抽屜放了蘋果，但不確定是放在哪個抽屜里，這其實就是對“總有一個抽屜”最樸素的理解。同時，在理解“至少”時，從每種放法里蘋果最多的抽屜來作觀察，引導學生在“最多”中找“至少”。學生因觀點交流而產生思維的碰撞，在不斷的交鋒中慢慢達成了對文本的理解。
【我們的反思】
《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，并體會一些數學的基本思想，獲得數學活動經驗”?！皣L試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題，嘗試評價不同方法之間的差異。”正是在這樣的背景下，我們選擇了以“問題解決”作為學生探索抽屜原理的思路，著重體現數學思想方法。
一、在“最多”中達成“至少”的共識
在抽屜原理中，“總有一個”，“至少”等關鍵詞的解讀和為了達到“至少”而進行平均分的思路;以及把什么看成蘋果，把什么看成抽屜，這樣一個數學模型的建立，學生學得頗具困難。因此，重構后的課堂教學從問題解決入手，在探索抽屜原理的起始階段，設計了這樣一個活動：把4個蘋果放到3個抽屜里，會不會有一個抽屜里至少有2個蘋果呢？讓孩子們用枚舉法驗證。枚舉法的好處在于很直觀，可以清楚的看出各種情況是否符合結論。通過直觀操作，抽象列舉，經歷在“最多”中找“至少”的過程，引導學生用準確的數學語言來表達，這樣的設計有效降低了教學難點，化解了老師把一個學生的標準答案當做了全體學生的共識這樣一種尷尬，較好的使學生理解了“至少”的含義。
二、在活動中感受理性的張力
張奠宙教授指出，抽屜原理一課，應該重在邏輯推理論證。教給學生論證的方法，把個別學生的好的推理方法內化到大多數學生身上。因此，當學生用最不利原則來論證結論時，教師要切中要害：最不利的情況是211，那么最有利的情況是什么？集中在一個抽屜里是最有利的情況，那么把蘋果分的最散就是最不利的情況，這時需要引入平均分。當活動從4個蘋果放到3個抽屜里，再到5個蘋果放到4個抽屜里，最后拓展到102個蘋果放到100個抽屜里，如果用枚舉法，呈現的情況可以是成千上萬的，根本無法擺完全，但是，運用抽象的演繹推理可以得出絕對肯定的結論。抽屜原理是純粹的存在性定理，只知其中有一個抽屜里至少有2個蘋果，卻不知道究竟是哪一個抽屜。也只知道某抽屜里的蘋果數至少是2，卻不能肯定究竟是幾個？也許102個蘋果都放在某一個抽屜里呢！這個看起來無法回答的問題，卻給出了絕對正確的答案。理性的力量令人震撼。積累這樣的數學活動經驗，并將之內化為一種數學思想方法，學生將終身受用。
三、在抽象中經歷建模的過程
通過枚舉擺法來逐一驗證，應該是證明抽屜原理最為形象也最易讓學生理解的一個方法。但這種方法也有一定的局限性，當涉及到的數據偏大時，通過列舉就顯得非常煩瑣。所以，這里除了驗證之外，還要引導學生進行深入的觀察與分析，找到那種分得最平均或者是最趨向于平均的分法來說明“總有一個盤子至少有2個蘋果”，以進一步優化驗證的方法。通過進一步的觀察與分析，讓學生逐步過體驗到，通過枚舉最趨向于平均的擺法來證明是一種更加簡便的方法。當學生能夠理解并掌握用最趨向于平均的擺法來解釋與驗證抽屜原理應該是學生數學思維的一次質的提升;通過進一步的教學，讓學生自主發現用除法算式來解決抽屜問題，應該是學生對抽屜原理的更為抽象更為數學化的理解。當然，這是一種更為簡便的解釋，在以后解決類似問題時更具適用性。這一路的探索，層層遞進，從枚舉法慢慢過渡到用邏輯推理來驗證結論，學生的思維得到了提升。同時，也歸納出了抽屜原理的一般結論，完成了建模的過程。
參考文獻：
[1]張奠宙.按“四基”要求編寫教材——以“抽屜原理”為例[J].教學月刊小學版（數學），2014（10）.
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