基本活動經驗視角下“橢圓的定義”的教學設計
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摘 要：以“橢圓的定義”為例，具體闡釋了獲得數學基本活動經驗的“四個階段”，即具體經驗、反思性觀察、抽象概括和主動實踐，從而達到獲得基本活動經驗的四個層次，即調動、拓展、完善和提升。
關鍵詞：數學基本活動經驗 橢圓的定義 教學設計
《普通高中數學課程標準（2017年版）》在課程目標中將原來的“雙基”轉變為“四基”，即增加“基本思想”和“基本活動經驗”。數學基本活動經驗是指在數學目標的指引下，經歷了實際操作、直觀想象、歸納演繹、抽象概括、運算求解、建模探究、數據分析等數學活動過程后形成的，能指導相關數學活動、有效促進學生認知發展的認識、體驗與觀念。美國學者科爾比認為：經驗獲得至少要經過：具體經驗、反思性觀察、抽象概括、主動實踐這四個階段，并在這四個階段的循環過程完成。下面以人教A版選修2-1第二章第2節“橢圓的定義”為例，具體闡釋科爾比的經驗獲得的四個階段：
一、具體經驗
教師通過多媒體展示生活中橢圓實例以及天體運動軌跡；
介紹數學歷史故事
設計意圖：借助生活實例，學生直觀感知橢圓來源于現實生活；歷史故事極大引發學生探究新知的興趣，感悟數學與生活的聯系。情境的創設，既自然滲透數學文化，揭示學習橢圓的必要性，又有效激活學生思維，積極調動學生已有的基本活動經驗。
活動操作：教師拿出一根細繩，并演示繩子不能伸縮。
1.將細繩的2個端點固定在木板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察畫出的軌跡是什么圖形？
設計意圖：從已有的活動經驗出發，體會定點、定值的軌跡問題，為下一個操作實驗鋪墊。
2.將細繩的2個端點固定在木板的2個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察畫出的軌跡是什么圖形？
第一次畫的兩個點距離大于繩長，學生試圖把繩子兩端與黑板上兩點重合時，發現繩長不夠，下面的學生哄堂大笑。第二次畫的兩個點距離正好為繩長，兩個學生只能繃緊繩子，沿著繩子畫了一條線段，下面的學生竊竊私語。第三次畫的兩個點距離小于繩長，教師與兩位學生合作畫出了一個橢圓。
設計意圖：操作是基本活動經驗積累的一個重要方面，也是基礎環境，通過操作來拓展學生的基本獲得經驗。在本環節中，教師讓學生親身經歷三次畫圖的實驗過程，由此體驗數學規律發現與認識的過程。
二、反思性觀察
橢圓形成的條件：
1.平面上——這是大前提；
2.兩個定點F1、F2；
3.動點M到兩個定點F1、F2的距離之和是常數2ɑ；
4.常數2ɑ要大于兩定點F1、F2之間的距離2c。
三、抽象概括
橢圓的定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數2ɑ（大于|F1F2|=2c）的點的軌跡叫做橢圓。
這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫做橢圓的焦距，c叫做橢圓的半焦距。
如果假設動點為M，則定義可以用一個公式表示為：
|MF1|+|MF2| |=2ɑ>2c
設計意圖：引導學生進行反思，不僅是課堂教學的一個重要環節，也是幫助學生積累基本活動經驗的一個重要渠道。對橢圓的定義進行抽象概括，可以進一步對自己的數學活動經驗進行反省、修改、提升，慢慢完善自己的基本活動經驗。
四、主動實踐
在《刁尼秀斯之耳》這個數學故事中，我們知道橢圓一個重要的光學性質：從橢圓一個焦點發出的聲音、光或熱，通過橢圓反射，可以全部匯聚到另一焦點處。今有一個水平放置的橢圓球形盤，點A、B是它的焦點，靜放在點A的小球（小球的半徑忽略不計），從點A沿直線出發，經橢圓壁反彈后，第一次回到A時，小球經過的路程為（D）。
A、4ɑ B、2（ɑ-c）
C、2（ɑ+c） D、以上答案都有可能
設計意圖：與本節課的引入相呼應，運用橢圓的定義解決實際問題，在運用中提升學生的基本活動經驗。
經驗的獲得需要“領悟”與“轉化”，通過參與具體活動（也可以是替代性的視覺觀察）直接領悟獲得具體經驗；然后對所經歷的活動通過回顧、反思等內在的思考，內化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的經驗；最后將獲得的經驗在解決新問題中進行證實和運用，重新領悟和創造新的經驗。經驗的積累就是在這樣不斷循環往復的連續過程中實現經驗的創造、領悟與轉化。在實際教學中，教師要充分整合動手操作、板書演示等各種教學手段，適時運用現代教育技術，給學生提供和創造像“觀察性經驗”一類的替代性經驗，讓學生在觀察、模仿、想象這些替代性經驗中獲得類似于親臨其境的實實在在的經歷和體驗，促進學生獲得廣泛的豐富的數學活動經驗。
參考文獻
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[3]李鋒.基于數學理解性學習的概念教學設計研究——以“橢圓的定義”的教學為例[J].中學數學，2016（21）：10-12.
作者簡介
陳燕熔（1983—），女，中學數學一級教師，擅長教學實踐研究。
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