論不同音樂時期與鋼琴曲內不同和弦運用頻率的聯系

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　　【摘要】通過對樂理的系統學習，我認識到憑借直覺來分辨不同的音樂風格的技能并不是源自于我與眾不同的能力，而可能與作曲家在不同時期使用和弦的習慣有關。為此，我將深入研究不同音樂時期作曲家的和弦習慣中的差異。在我選定的曲目中，通過構造合適的馬可夫鏈并計算穩態分布，我將用數據的形式來展現我的假設是否成立，不同時期的樂曲是否有和弦運用習慣上的差異，并結合我的音樂知識來進一步分析。
　　【關鍵詞】音樂時期;音樂風格;頻率
　　【中圖分類號】J624                             【文獻標識碼】A
　　序言
　　音樂是善變的。它由巴洛克時期的嚴格控制的旋律對位，演變成古典時期的抒情歌唱式的旋律，再演變到浪漫時期傾瀉感情的風格。之所以不同時期的音樂風格迥異，主要源于不同時期作曲家對和弦和和弦進行的差異。為了更深入地了解這一現象，我通過6首曲子研究了音樂時期與和弦使用習慣上的關系。本文將對此次研究的成果加以展開分析。本文假設我所選取的6首曲子在各個時期都是具有代表性的。同一時期中的其他曲子應有類似的和弦數據。然而，由于我們在每個時期只選擇了2首曲目，這些樣本可能無法涵蓋該時期所有和弦使用上的特征。
　　一、數學模型
　　以下是本文中會用到的定義：
　　概率向量-所有項相加得1，并且每一項在0到1之間（可取0，1）的向量。
　　隨機矩陣-行或列皆為概率向量的正方矩陣。
　　a.右隨機矩陣-行為概率向量的正方矩陣。
　　b.左隨機矩陣-列為概率向量的正方矩陣。
　　馬可夫鏈-由一個狀態變換到另一個狀態的隨機過程。
　　馬可夫鏈矩陣-一個包含馬可夫鏈中所有狀態間變換的概率的隨機矩陣。
　　穩態向量-給定隨機矩陣S，穩態向量p是一個滿足以下條件的概率向量：
　?。?）若S為右隨機矩陣，則p是一個列向量并且Sp=p。
　?。?）若S為左隨機矩陣，則p是一個行向量并且pS=p。
　　和弦進行-和弦間的變換
　　這里我會討論數學上馬可夫鏈的方法是如何運作的。馬可夫鏈根據于以下重要定理。該定理確保在大多數實際運用的情況下，穩態向量存在并是唯一的。
　　定理：每個元素都是正數的右隨機矩陣有一個唯一的穩態向量。
　　本文將不會包括該定理的證明，因為該定理的證明包含與本調查目標無關的復雜計算與數學知識。盡管如此，我會在這里給出一個證明的大概框架。
　　二、應用
　　通過數曲目中和弦進行出現的頻率，我們可以為每首曲目構造一個馬可夫鏈。在每個馬可夫矩陣S中，ski代表該曲中由k和弦變換到i和弦的概率。舉個例子，s11=二分之一表明在該曲中，由I和弦開始，有一半的和弦變換到了另一個I和弦。
　　給定一個馬可夫鏈，我們可以計算它的穩態向量。穩態向量代表了每個和弦的出現概率。換句話說，pk告訴我們和弦k在曲目中出現了多少次。舉個例子，如果穩態向量是（10…0），那么這個曲目中只有I和弦。p1=1告訴我們I和弦的出現概率是100%，也就是說所有的和弦是I和弦。p2=p3=…p7=0告訴我們其他的和弦沒有在曲目中出現一次，與之前有關p1的結論相符。
　　三、數據
　　我們通過一個在線穩態向量計算器（2）來計算以上概率矩陣的穩態向量。每一個元素代表該時期中該和弦出現的概率。
　　四、分析
　　總體來說，I和弦和I-I和弦進行在三個時期中都有較高的出現頻率。這可以體現作曲家使用I和弦的習慣是不受音樂時期所影響的。在音樂中，I和弦是建立在曲目基調的音上的主和弦，因此有著不可替代的重要性。正是如此，在很多和弦進行中I和弦都會被用到，所以它的出現頻率是不受音樂時期的演變而影響的。
　　五、結論
　　三個時期的穩態向量展示了和弦運用在不同時期里的顯著差異。巴洛克和古典音樂家喜歡用大調和弦，比如I，IV和V，而浪漫時期的音樂則包含了相對平衡的和弦使用，包括一些非尋常的和弦，如減七。這樣的差異讓巴洛克和古典音樂帶有一種嚴格的感覺，而浪漫時期的音樂則更具有創造力與感染力。也許這就是為什么我能夠通過聽一首曲子就直接判斷該曲子所處的音樂時期。馬可夫鏈僅僅代表了有限的曲目樣本與變量，僅能找到和弦與時期的相關性，但不能說明與作曲家有沒有相關性。這可能會導致本文的結論不一定一直成立。盡管如此，馬可夫鏈給予了我精確而簡短的展示并分析和弦數據的方式。自始至終，和弦的使用一直在變遷，而這導致的就是不同音樂時期的形成，并幫助音樂學家將過去的音樂分類成三個時期：巴洛克、古典與浪漫。
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