例談化歸思想在中學數學解題中的應用
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摘 要 化歸思想是中學數學解題中常用的一種重要思想，在解題時的應用十分廣泛。本文通過例舉化歸思想在中學數學解題中的應用，如：解方程，求數列通項，處理含參不等式，解三角函數，解應用題等。通過對這些題目的逐一分析，繼而總結出化歸思想解題的一般規律與原則，即通過將未知的問題轉化歸結為已知的知識、將復雜問題轉化歸結為簡單問題。
關鍵詞 化歸思想;中學數學;解題;應用
中圖分類號：B027 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）02-0075-01
化歸思想的最終目的是為了簡化求解過程，實現復雜問題簡單化、抽象問題具體化?；瘹w思想以其高度的實用性和有效性，贏得了師生的一致認可，是實現對學生綜合素養教學的重要手段。
一、化歸思想的基本概念
化歸思想是處理數學問題的一般思想方法，其核心是：在解決數學問題時，常常是將要解決的問題A通過某種轉化手段，歸結為另一個問題B，而問題B是相對較易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得原問題A的解答?；瘹w的基本功能是：生疏化成熟悉、復雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。
二、化歸思想在中學數學解題中的應用
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例1.解方程（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0
解：原方程可化為：
?。▁2+8x+7）2+8（x2+8x+7）+15=0
令y=x2+8x+7這樣，我們將解方程
?。▁2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0
轉化為規范化方程y2+8y+15=0的形式。
對于方程y2+8y+15=0可化為（y+3）（y+5）=0，
可得方程的解為： y=-3或y=-5。
所以我們有x2+8x+7=-3或x2+8x+7=-5，繼而接著解兩個方程可得原方程的解：
從上題我們可以看出：在解方程時對方程變量進行替換把高次方程轉化為低次方程，再對低次方程進行變形化為一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），使之納入原有的已經解決的知識結構，這就是化歸。
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例2：設正數數列{an}的前n項和為Sn，又 ，求an。
分析：因為當n≥2時，an=Sn-S（n-1），所以2Sn=
，所以2Sn2-2SnSn-1=（Sn-Sn-1）2+1，所以Sn2-Sn-12=1，所以數列{Sn}的平方數列{Sn2}是公差為1的等差數列，易求S1=1，所以Sn2=n，因為an>0，所以 ，所以 。
從上述兩題我們看到不少既非等差又非等比的數列，卻可以通過適當的變形，化歸為一個等差數列、等比數列或一個通項易求的數列，從而求出原數列的通項公式。
（三）處理含參不等式
函數與不等式關系密切，尤其是含參數的不等式問題，變量較多。遇到這類問題時，我們應如何處理呢？
例3：如果2x-1>m（x2-1）對任意m∈[-2，2]都成立，求x的范圍。
分析：解題時易想到，由原不等式解出x，再根據m的范圍確定x的范圍?？梢韵胂?，此法解題過程非常煩瑣，很難解出結果。應如何考慮呢？注意到m的范圍已確定，轉換一下角度，把所給不等式看成m的不等式如何？
解：原不等式變形為：
m（x2-1）-（2x-1）<0
左邊顯然是m的一次函數，記作f（m），
由題知，f（m）<0對任m∈[-2，2]恒成立，由一次函數性質只需
即可，這樣便可解這個關于x的不等式組，從而得解：
從上例可以看出，處理這類問題時我們不妨換個角度，可通過化歸思想，把它轉化為函數問題，反客為主。把我們熟悉的未知數看作參變量，而把原來的參數看作主元未知數，分離變量，利用轉化思想把它化歸為函數問題，利用函數性質即可輕松獲解。這樣處理，不但方法巧妙，而且過程簡單，有利于培養思維能力，提高解題能力。
例4：某商店進貨每件50元，據市場調查，銷售價格（每件x元）在50≤x≤80時，每天售出的件數P= 。若想每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應為多少元？
這是一個u關于 的二次函數，當 。
即x=60（x∈[50，80]）時，u取最大值，故每件定價為60元時，利潤最大為2500元。
在這一題中我們先把實際問題轉化為數學問題，使之能用數學理論解決具體的實際問題，再在數學問題的解決中繼續應用化歸轉化的思想，盡管上述方法轉化方向各不相同，但其實質都是一樣的：盡量轉化為熟悉的知識或方便求解的問題上。
從以上幾道例題我們可以總結出化歸思想解題的一般規律，即：生疏化成熟悉、復雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。
化歸思想作為一種重要的數學思想方法，在數學問題的學習中有著十分重要的作用。通過分析化歸思想在中學數學中的具體應用，我們總結出了化歸思想解題的一般規律，即對題目自身的特點，遵循熟悉化、簡單化、特殊化等原則，化繁為簡，化難為易，從而達到解題的目的。
參考文獻：
[1]凌健.化歸思想在數學解題中的應用[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2008（2）：115-117.
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